Problemes de Hilbert

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els problemes de Hilbert són un conjunt de 23 problemes matemàtics, originalment sense resoldre, que el matemàtic alemany David Hilbert presentà al Segon Congrés Internacional de Matemàtics, celebrat a París l'agost de 1900. Alguns dels problemes presentats són específics, com la hipòtesi de Riemann, mentre que d'altres són molt més genèrics i vagues i es poden considerar més aviat línies d'investigació que veritables problemes. L'objectiu de Hilbert era oferir unes línies de treball per a la recerca en matemàtiques, destacant els camps i els problemes més importants. La conferència tingué un ressò extraordinari i les línies establertes per Hilbert han guiat la Matemàtica durant bona part del segle XX.

Els 23 problemes de Hilbert[modifica | modifica el codi]

Els vint-i-tres problemes de Hilbert són els següents:

Problema Breu enunciat Situació Any
Primer Demostrar la Hipòtesi del Continu (CH) (és a dir, que no existeix cap conjunt de cardinalitat estrictament compresa entre el cardinal dels enters i el dels reals. Resolt.
1) Kurt Gödel demostrà que si ZFC és consistent (cosa que no podem demostrar), aleshores ZFC + CH també és consistent.
2) Paul Cohen va demostrar que si ZFC és consistent, aleshores ZFC + ¬CH també és consistent.
Amb això va quedar demostrat que no es pot demostrar la Hipòtesi del Continu.[n 1]
1) 1940
2) 1963
Segon Demostrar la consistència dels axiomes de l'aritmètica. No hi ha consens sobre si els resultats de Gödel i Gentzen donen una solució definitiva al problema tal com el va plantejar Hilbert. El Teorema d'incompletesa de Gödel demostra que no es pot construir una prova de consistència dins de la pròpia aritmètica. Gentzen va demostrar que la consistència de l'aritmètica es segueix de la bona fonamentació del ordinal ε0. 1930 - Gödel
1936 - Gentzen
Tercer Donats qualsevol dos poliedres d'igual volum, és sempre possible descompondre el primer en un nombre finit de poliedres amb els que els que es pugui re-acoblar el segon? Resolt amb resultat negatiu. Ve ser el primer dels problemes en ser resolt, per Max Dehn i la teoria dels invariants 1900
Quart Es poden construir mètriques, les línies de les quals siguin geodèsiques? L'enunciat és massa vague per decidir si ha estat resolt o no.[n 2]
Cinquè Són tots els grups continus de transformacions de Lie automàticament diferenciables? Resolt per Hidehiko Yamabe, qui va establir les condicions de diferenciabilitat. Un any abans havien estat publicats els articles de Andrew Gleason, i un altre de Deane Montgomery i Leo Zippi que alguns consideren també la solució del problema.[n 3] 1953 Yamabe
Sisè Axiomatització total de la Física. Sense resoldre.
Setè És a b un nombre transcendent, per a tot nombre algebraic a ≠ 0,1 i per a tot nombre irracional algebraic b ? Resolt afirmativament. Alexander Gelfond ho va demostrar amb el teorema de Gelfond-Schneider. 1934
Vuitè La Hipòtesi de Riemann (tots els zeros no trivials de la funció zeta tenen mòdul real ½). Sense resoldre
Novè Trobar la més general llei de reciprocitat quadràtica en qualsevol cos numèric algebraic. Parcialment resolt. Va ser resolt per Emil Artin per a les extensions abelianes dels nombres racionals; el cas de les extensions no abelianes continua sense resoldre. 1927 Artin
Desè Trobar un algorisme per a determinar quan té solucions enteres una equació diofantina polinòmica amb coeficients enters. Resolt amb resultat negatiu. Yuri Matiyasevich va demostrar que no existeix tal algorisme. 1970
Onzè Resoldre qualsevol forma quadràtica amb coeficients numèrics algebraics. Parcialment resolt. El Principi Local-Global de Helmut Hasse ho permet en determinades circumstàncies
Dotzè Estendre el Teorema de Kronecker–Weber sobre les extensions abelianes dels nombres racionals a qualsevol camp numèric. Sense resoldre.
Tretzè Resoldre l'equació general de grau 7 amb funcions de dues variables. Parcialment resolt. El problema va ser parcialment resolt per Vladimir Arnold, basant-se en l'obra d'Andrei Kolmogórov, en demostrar que qualsevol funció continua de tres variables es pot expressar amb una sèrie finita d'equacions de dues variables. 1957
Catorzè Establir la finitut de certs sistemes complets de funcions. Resolt amb resultat negatiu. Masayoshi Nagata va construir un contra-exemple. 1959
Quinzè Trobar una teoria rigorosa per al càlcul enumeratiu de Schubert. Parcialment resolt. Es considera que el problema a quedat resolt amb el desenvolupament de la topologia algebraica per Bartel van der Waerden i pels Fonaments de la Geometria Algebraica d'André Weil.[n 4] 1930 v.der Waerden
1946 Weil
Setzè a) Investigació de les posicions relatives de les branques de les curves algebraiques d'ordre n.
b) Cicles límits dels camps de vectors polinòmics.
Sense resoldre.[n 5]
Disetè Expressar qualsevol funció racional no negativa com un quocient de sumes de quadrats. Resolt afirmativament. Emil Artin ho va demostrar.[n 6] 1927
Divuitè a) Quants tipus de poliedres existeixen que poden omplir totalment l'espai?
b) Quina és la disposició més densa de les esferes en l'espai?
a) Resolt afirmativament. Ludwig Bieberbach va demostrar que existeixen 17 formes en 2D i 219 en 3D.
b) Considerat resolt per demostració assistida per ordinador de Thomas Callister Hales; la màxima densitat obtinguda va ser del 74% aprox.[n 7]
1928 Bieberbach
1998 Hales
Dinovè Les solucions dels lagrangians, són sempre analítiques? Resolt afirmativament. Va ser demostrat simultània i independetment per Ennio de Giorgi i John Forbes Nash. 1957
Vintè Tenen solució tots els càlculs de variacions amb certes condicions límit? Resolt afirmativament. Va ser demostrat per Sergei Bernstein 1913
Vigèsim primer Demostrar l'existència d'equacions diferencials lineals amb un determinat grup monodròmic. Resolt afirmativa o negativament segons altres condicions. Diferents autors (Josip Plemelj, G.D. Birkhoff, Andrei Bolibrukh) van mantenir una controversia amb diferents demostracions i refutacions, fins arribar a la solució final.[n 8]
Vigèsim segon Uniformar les relacions analítiques per mitjà de funcions automorfes. Resolt afirmativament. Demostrat simultània i independentment per Henri Poincaré i Paul Koebe. 1907
Vigèsim tercer Estendre el desenvolupament dels mètodes de càlcul de variacions. Més que un problema és un programa de recerca, al que la comunitat matemàtica va donar resposta.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Existeix un consens generalitzat que això tanca el problema, però existeixen propostes que pretenen demostrar la Hipòtesi com la Lògica Ω de W. Hugh Woodin
  2. Segons Yandell, els treballs més rellevants sobre el problema es deuen a Herbert Busemann i Aleksei V. Pogorelov, amb els quals el problema es podria donar per resolt.
  3. Yandell, Benjamin. The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers. A K Peters Ltd., 2002. ISBN 1-56881-141-1 Pàgs. 144 i següents.
  4. No obstant, hi ha qui argüeix que el problema involucra també la geometria enumerativa i, per tant, no està resolt del tot.
  5. Els treballs d'Henri Dulac, per una banda, i els de Ilyashenko i Ecalle, per altra, per resoldre la part b) del problema, no han estat considerats suficients.
  6. Emil Artin és l'únic matemàtic que ha resolt dos dels problemes de Hilbert en la seva integritat.
  7. Gray considera el problema com "obert", ja que no considera la demostració assistida per ordinador una demostració "matemàtica".
  8. Yandell, Benjamin. The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers. A K Peters Ltd., 2002. ISBN 1-56881-141-1 Pàgs. 365 i següents.

Enllaços i referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Problemes de Hilbert Modifica l'enllaç a Wikidata