Teoria de nombres

La nostra teoria de nombres deriva de l'antiga aritmètica grega de Diofant. Portada de l'aritmètica de Diofant traduïda al llatí per Bachet de Méziriac, edició amb comentaris de Pierre de Fermat publicada el 1670.

Tradicionalment, la teoria de nombres o números és la branca de les matemàtiques pures que estudia les propietats dels nombres enters i conté una quantitat considerable de problemes que són "fàcilment compresos pels no matemàtics", però més en general, estudia les propietats dels elements de Dominis Enters (Anells commutatius amb element unitari i element neutre) així com diversos problemes derivats del seu estudi. Segons els mètodes emprats i les preguntes que s'intenten contestar, la teoria de nombres se subdivideix en diverses branques.

La teoria de nombres s'acostumava a denominar aritmètica superior, encara que el terme ha caigut en desús.

Conjectures i teoremes relacionats amb la teoria de nombres:

• Conjectura de Goldbach sobre si tots els nombres parells (a partir de 4) són la suma de dos nombres primers.
• Conjectura dels nombres primers bessons sobre la infinitat dels anomenats nombres primers bessons.
• Darrer teorema de Fermat (demostrat el 1995 per Andrew Wiles).
• Lema de Thue.
• Hipòtesi de Riemann sobre la distribució dels zeros de la funció zeta de Riemann.

Història de la teoria de nombres

Civilització vèdica

Els matemàtics de l'Índia es varen interessar en la recerca de solucions enters d'equacions diofàntiques des del període vèdic. L'ús geomètric més antic de les equacions diofàntiques es pot trobar als Sulba Sutras, que varen ser escrits entre el segle VIII aC i el segle VI ac Baudhayana va trobar dos conjunts de solucions enteres positives a un sistema d'equacions diofàntiques, i va utilitzar també els sistemes d'equacions diofàntiques de quatre desconegudes. Apastamba (aproximadament. 600 abans de J.C.) va utilitzar els sistemes d'equacions diofàntiques de cinc desconegudes.

Època jaïna

A l'Índia, els matemàtics de l'època jaïna van desenvolupar una teoria dels nombres sistemàtica del segle IV aC fins al segle II Ac El text Surya Prajinapti (aproximadament. 400 abans de J.-C.) classifica tots els nombres en tres conjunts: numerables, no numerables i infinit. Cadascun d'aquests tres conjunts es dividia més endavant en tres ordres:

Llegenda

Conjunts	Definicions
Numerables	el més baix, intermediari i el més alt.
No numerable	no numerable proper, verdaderament no numerable i no numerablement no numerable.
Infinit	infinit proper, verdaderament infinit, infinitament infinit.

Els matemàtics de l'època jaïna van ser els primers a descartar la idea que tots els infinits són els mateixos o iguals. Van reconèixer cinc tipus diferents d'infinit: infinit en una o dues direccions (una dimensió), infinit en superfície (dues dimensions), infinit arreu (tres dimensions), i infinit perpètuament (en un nombre infinit de dimensions).

El nombre numerable el més alt N de les obres jaïnes correspon al concepte modern d'aleph zero $\aleph_0$ (el nombre cardinal del conjunt infinit dels enters 1, 2 ...) El nombre transfinit cardinal més petit. Els matemàtics d'aquesta època varen definir també un sistema complet de nombres cardinals transfinits, en el qual el nostre $\aleph_0$ és el més petit.

En el treball sobre la teoria de conjunts, es distingeixen dos tipus de nombres transfinits de base. Per raons a la vegada físiques i ontològiques, es va fer una distinció entre asmkhyata i ananata, entre infinit rígidament vinculat i infinit pobrament vinculat.

Civilització grega

La teoria dels nombres va ser un estudi favorit entre els matemàtics grecs d'Alexandria, Egipte a partir del segle III aC, que van tenir consciència del concepte d'equació diofàntica en nombrosos casos particulars. El primer matemàtic hel·lè a estudiar aquestes equacions va ser Diofant d'Alexandria.

Diofant també va cercar un mètode per trobar les solucions enteres per a les equacions indeterminades lineals, equacions per a les quals falta informació suficient per produir un conjunt únic de respostes discretes. L'equació $x + hi = 5\,$ és d'aquesta mena. Diofant va descobrir que moltes equacions indeterminades es poden transformar a una forma on una certa categoria de solucions és coneguda mentre que una solució específica no ho és.

L'època clàssica a la India

Les equacions diofàntiques van ser estudiades de manera intensiva pels matemàtics indis del període medieval, que van ser els primers a buscar sistemàticament mètodes per a la determinació de solucions enteres d'equacions diofàntiques. Aryabhata (en 499) va donar la primera descripció explícita de la solució entera general de l'equació diofàntica lineal $ay + bx = c\,$, que apareix en el seu text Aryabhatiya. Aquest algoritme kuttaka és considerat com una de les contribucions més significatives d'Aryabhata en matemàtiques pures, que va trobar les solucions d'equacions diofàntiques en termes de fraccions continues. La tècnica va ser aplicada per Aryabhata per donar les solucions enters d'un sistema d'equacions diofàntiques lineals, un problema amb importants aplicacions en astronomia. Va trobar també la solució general de l'equació lineal indeterminada utilitzant aquest mètode.

Brahmagupta el 628 va manipular de les equacions diofàntiques més difícils. Va utilitzar el mètode chakravala per resoldre les equacions diofàntiques quadràtiques, incloent formes de l'equació de Pell-Fermat, tal com $61x^2 + 1 = y^2\,$. El seu Brahmasphutasiddhanta va ser traduït a l'àrab el 773 i va ser traduït més tard a llatí el 1126. L'equació $61x^2 + 1 = y^2\,$ va ser més tard posada com un problema el 1657 pel matemàtic francès Pierre de Fermat. La solució general d'aquesta forma particular d'equació de Pell-Fermat va ser trobada més de 70 anys més tard per Leonhard Euler, mentre que la solució general de l'equació de Pell-Fermat va ser trobada més de 100 anys més tard per Joseph Louis Lagrange el 1767. Molts segles abans, la solució general de l'equació de Pell-Fermat havia sigut escrita per Bhaskara II el 1150, utilitzant una versió modificada del mètode chakravala de Brahmagupta, que va utilitzar també per trobar la solució general d'altres equacions quadràtiques intermediàries indeterminades i de les equacions diofàntiques quadràtiques. El mètode chakravala de Bhaskara per trobar la solució general de l'equació de Pell-Fermat era més senzill que el mètode utilitzat per Lagrange 600 anys més tard.

Bhaskara va trobar també solucions per a altres equacions indeterminades quadràtiques, cúbiques, quàrtica i de les equacions polinòmiques de grau més elevat. Narayana Pandit va perfeccionar encara el mètode chakravala i va trobar més solucions generals per a les altres indeterminades quadràtiques així com per a les equacions polinòmiques de grau més elevats.

La civilització islàmica

A partir del segle IX, els matemàtics islàmics van tenir un viu interès en la teoria de nombres. El primer d'aquests matemàtics va ser el matemàtic àrab Thàbit ibn Qurra, que va descobrir un teorema que permetia trobar parells de nombres amics, és a dir dos nombres que són cadascun la suma dels divisors propis de l'altre.

Al segle X, Al-Baghdadí va descobrir una lleugera variant del teorema de Thàbit ibn Qurra. Ibn al-Hàytham sembla haver estat el primer a intentar classificar tots els nombres perfectes parells (nombres iguals a la suma dels seus divisors propis) com els de la forma $2^{k-1}(2^k - 1)\,$ on $2^k - 1\,$ és primer. Al-Hàytham és també la primera persona en haver establert el teorema de Wilson, concretament que si p és primer llavors $1+(p-1)!\,$ és divisible entre $p\,$. No està clar si sabia com demostrar aquest resultat. Aquest teorema porta el nom de teorema de Wilson a causa d'un comentari fet per Edward Waring el 1770 segons el qual John Wilson havia observat el resultat. John Wilson indica a Waring que no sap demostrar aquest resultat, Waring no troba tampoc cap prova. Tanmateix la primera demostració coneguda prové de Leibniz, que no jutja útil de publicar-la, i Euler en va publicar una prova.

Els nombres amics han jugat un gran paper en les matemàtiques islàmiques. Al segle XIII, el matemàtic persa Al-Farisí va donar una nova demostració del teorema de Thàbit ibn Qurra, introduint noves idees en relació amb la descomposició i els mètodes combinatoris. Va donar també el parell de nombre amics 17.296, 18.416 que han estat atribuïts a Euler, però se sap que eren coneguts abans que Al-Farisí, potser fins i tot per Thàbit ibn Qurra mateix.

Al segle XVII, Muhàmmad Baqir Yazdi va donar el parell de nombres amics 9.363.584 i 9.437.056 força abans de la contribució d'Euler.

Inicis de la teoria de nombres a Europa

La teoria dels nombres a Europa comença als segles XVIè i XVIIè amb els treballs de Viète, Bachet de Méziriac i sobretot Fermat. Al segle XVIII, Euler i Lagrange van contribuir a la teoria, cap a la fi del segle, el tema comença a prendre una forma científica a través dels grans treballs de Legendre ( 1798) i Gauss (1801). Amb aquest últim i la seva obra, les Disquisitiones arithmeticae (1801), es pot dir que comança la teoria moderna de nombres.

Tchebychev ( 1850) va donar els límits, molt utilitzats, sobre la quantitat de nombres primers entre dos nombres donats. Riemann ( 1859) va conjecturar que el límit de la densitat dels nombres primers no excedeix una funció donada (el teorema dels nombres primers), va introduir l'anàlisi complexa en la teoria de la Funció ζ de riemann, i en va deduir la fórmula dels nombres primers a partir dels seus zeros.

L'aritmètica modular va començar realment amb els Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Va introduir el simbolisme següent:

$a \equiv b \pmod c \;$

i va explorar la major part d'aquesta àrea. Generalitza la teoria a altres anells de enters i descobreix el primer conjunt d'enters algebraics: els enters de Gauss. Tchebychev va publicar el 1847 un treball en rus sobre el tema. Serret el va popularitzar.

Al costat del treball resumit anteriorment, Legendre estableix els primers casos d'aplicació de la llei de reciprocitat quadràtica. Aquesta llei, descoberta per inducció i enunciada per Euler, la va demostrar primer Legendre en la seva Teoria de Nombres ( 1798) per a casos excepcionals. Independentment d'Euler i Legendre, Gauss va descobrir la llei cap a 1795, i va ser el primer a donar-ne una prova general. A la matèria també hi varen contribuir: Cauchy; Dirichlet, el seu Vorlesungen Über Zahlentheorie és un clàssic; Jacobi, que va introduir el símbol de Jacobi; Liouville, Eisenstein, Kummer, i Kronecker. La teoria es va estendre per incloure la reciprocitat biquadràtica i cúbica, (Gauss, Jacobi que va ser el primer en demostrar la llei de reciprocitat cúbica, i Kummer).

Es deu també a Gauss la representació dels nombres per formes quadràtiques binàries. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (1859,1868), i de manera notable Hermite han contribuït pel que fa a això. En la teoria de les formes ternàries, Eisenstein ha estat un cap de fila, i gràcies a ell i també a H. J. S. Smith, es deu un avenç destacable en la teoria de les formes en general. Smith va donar una classificació completa de les formes quadràtiques ternàries, i va estendre les investigacions de Gauss en relació amb les formes quadràtiques reals cap a les formes complexes. Les investigacions en relació amb la representació dels nombres per la suma de 4, 5, 6, 7, 8 quadrats van ser aprofundides per Eisenstein i la teoria va ser completada per Smith.

En la història de la teoria dels nombres, l'últim teorema de fermat juga un paper a part, en base als esforços considerables, estesos sobre més de tres-cents anys, dels matemàtics del món sencer per aportar-ne la demostració (o la refutació). Aquest teorema afirma que per a n > 2, no existeixen enters no nuls x, y i z que verifiquen:

$x^n+y^n=z^n\,\!$.

Pierre de Fermat mateix en va aportar la prova en el cas particular n = 4. Euler, el 1753, ho va demostrar gairebé per a n = 3, introduint en la seva prova els nombres imaginaris. El 1825, Dirichlet i Legendre demostren el cas n = 5, utilitzant un sortint decisiu de Sophie Germànic (cf demostracions de l'últim teorema de Fermat). Lamé resol el cas no= 7 el 1839. Aquests diferents casos són resolts amb l'ajuda de l'estructura d'anell euclidià de la mateixa naturalesa que els enters de Gauss, són els anells d'enters d'eisenstein i d'enters de Dirichlet. Kummer el 1847 prova el teorema quan l'exponent no és un nombre primer régular, i obre la teoria d'ideals. Al final del segle XIX i al començament del segle XX, els matemàtics abandonen el gran teorema de Fermat per consagrar-se als fonaments matemàtiques. El 1955, el japonès Taniyama emet la hipòtesi d'una relació profunda entre les corbes el·líptiques racionals i les formes modulars, dos àmbits a priori molt allunyats de les matemàtiques. Ribet, provant una conjectura de Serre, mostra que aquesta conjectura de Shimura-Taniyama-Weil té per a conseqüència el gran teorema de Fermat. És Andrew Wiles que provarà una porció suficient d'aquesta conjectura el 1994, amb l'ajuda de Ricard Taylor, i aportarà una resposta definitiva al cèlebre problema.

Branques de la teoria de nombres

La teoria elemental de nombres

En aquest àmbit, els enters s'estudien sense utilitzar tècniques d'altres àmbits de les matemàtiques. Les questions de divisibilitat, l'algorisme d'Euclides per a calcular el màxim comú divisor, la factorització dels enters en nombres primers, la recerca dels nombres perfectes i congruències pertanyen a aquest àmbit. Les afirmacions típiques són el petit teorema de Fermat i el teorema d'Euler, i per extensió el teorema xinès del residu i la llei de reciprocitat quadràtica. Les propietats de les funcions multiplicatives com la funció de Möbius i la funció φ d'Euler s'hi estudien; així com les successions d'enters com les factorials i els nombres de Fibonacci.

Moltes questions de teoria elemental de nombres apareixen senzilles però requereixen consideracions molt profundes i nous enfocaments, tals com els exemples següents:

• La conjectura de Goldbach en relació amb l'expressió dels nombres parells com a suma de dos nombres primers
• La conjectura dels nombres primers bessons a propòsit de l'infinitat dels parells de nombres primers consecutius, i
• La conjectura de Siracusa en relació a una senzilla iteració.

La teoria de les equacions diofàntiques fins i tot ha estat presentada com sent indecidible.

La teoria analítica dels nombres

La teoria analítica dels nombres empra les eines del càlcul infinitesimal i de l'anàlisi complexa per tractar les questions sobre els enters. El teorema dels nombres primers i la hipòtesi de Riemann que he està relacionada en són exemples. El Problema de Waring (és a dir: per a un nombre donat, és la suma de quadrats, de cubs, et cetera.), la conjectura dels nombres primers bessons (trobar una infinitat de parells de nombres primers la diferència entre els quals és 2) i la conjectura de Goldbach (escriure els enters parells com a suma de dos nombres primers) s'ataquen amb èxit amb els mètodes d'anàlisi. Les demostracions de la transcendència de les constants matemàtiques, com π o e, també es classifiquen com formant part de la teoria analítica dels nombres. Mentre que els resultats a propòsit dels nombres transcendents sembla que es treuen de l'estudi dels enters, estudien realment els valors possibles de polinomis de coeficients enters avaluats a, diguem, e; també estan connectats fermament al camp de l'aproximació diofàntica, que investigació «de quina manera correcta» un nombre real donat es pot aproximar per un nombre racional.

La teoria de nombres algebraics

En la teoria de nombres algebraics, el concepte de nombre s'estén als nombres algebraics que són les arrels dels polinomis amb coeficients racionals. Aquests dominis contenen elements anàlegs als enters, coneguts sota el nom d'enters algebraics.

Les virtuts de les eines utilitzades -- teoria de Galois, cos cohomologic, teoria dels cossos de classes, representació dels grups i les Funcions L -- són tals que permeten trobar un ordre parcial per a aquestes noves classes de nombres.

Moltes questions teòriques sobre els nombres s'aborden amb èxit amb el seu estudi mòdul p per a tots els nombres primers p.

Això porta a la construcció dels nombres p-àdics; aquest camp d'estudi s'anomena anàlisi local i resulta de la teoria de nombres algebraics.

La teoria geomètrica de nombres

Tradicionalment anomenada geometria dels nombres, la teoria geomètrica de nombres incorpora totes les formes de la geometria. Comença amb el Teorema de Minkowski a propòsit de xarxes de punts (enreixat) en els conjunts convexos i investiga sobre els apilaments compactes. La geometria algebraica, i especialment la teoria de les corbes el·líptiques, també poden ser utilitzades. El cèlebre darrer teorema de Fermat va ser demostrat amb aquestes tècniques.

La teoria combinatòria de nombres

La teoria combinatòria de nombres s'ocupa dels problemes de teoria de nombres que impliquen idees combinatòries en les seves formulacions o les seves solucions. Paul Erdős és el principal fundador d'aquesta branca de la teoria de nombres. Els temes característics inclouen el sistema de cobertura, els problemes a suma zero, diverses sumes de conjunts restringides i les progressions aritmètiques en el conjunt dels enters. Els mètodes algebraics o analítics són potents en aquest camp d'estudi.

Bibliografia

• Jean-Pierre Serre, Curs d'aritmètica, PUF, 1985.