Factorial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca


El factorial d'un nombre natural n és el producte de tots els nombres naturals menors i iguals a n. S'escriu n! i s'anomena "n factorial":

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

és a dir,

n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{per a tot }n \ge 0 \!

Per exemple, 5! = 5·4·3·2·1 = 120, mentre que 0! = 1 per definició. Els factorials dels deu primers nombres enters són:

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800

La notació ! fou introduïda per Christian Kramp el 1808.[1]

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Els factorials s'utilitzen molt en la branca de les matemàtiques anomenada combinatòria, a través del binomi de Newton, que dóna els coeficients de la forma desenvolupada de (a + b)^n:

(a + b)n = an + n × an − 1 × b + Cn, 2 × an − 2 × b2 + ... + n × a × bn − 1 + bn

amb: C_{n,k} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

Per mitjà de la combinatòria, els factorials intervenen en el càlcul de les probabilitats. Intervenen també en l'àmbit de l'anàlisi, en particular a través del desenvolupament polinomial de les funcions (fórmula de Taylor). Es generalitzen als reals amb la funció gamma, de gran importància en el camp de l'aritmètica.

Existeix un equivalent, quan n tendeix a l'infinit, del factorial de n, donat per la fórmula de Stirling:

n! ≈ √(2πn) (n/e)n.

L'avantatge d'aquesta fórmula és que no precisa inducció, i per tant permet avaluar n! més ràpidament (encara que en forma aproximada) quan major sigui n.

Implementació en informàtica[modifica | modifica el codi]

Aquest algorisme es pot escriure en C++ utilitzant una funció recursiva:

int factorial(int n) {
if(n == 0) return 1;
return n*factorial(n - 1);
}

La funció gamma[modifica | modifica el codi]

El concepte de factorial és natural per als nombres enters, però la idea es pot generalitzar a nombres reals gràcies a la funció gamma, que defineix el factorial de la següent manera:

z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!

que, a més, també permet estendre el concepte als nombres complexos, exceptuats els enters negatius.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Hayes, Brian. «Fat Tails.». American Scientist, abstracte a la Britannica Online Encyclopedia, 05 2007. [Consulta: 09/12/09].

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]