Sèrie de Taylor

De Viquipèdia

Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la sèrie de Taylor de formula funció f infinitament derivable (real o complexa) definida en un interval obert (a-r, a+r) es defineix amb la següent suma:

\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}

Aquí, n! és el factorial n y f (n)(a) indica la enèsima derivada de f en el punt a.

Si aquesta sèrie convergeix per a tot x pertanyent a l'interval (a-r, a+r) i la suma és igual a f(x), llavors la funció f(x) es diu analítica. Per a comprovar si la sèrie convergeix a f(x), se sol utilitzar una estimació de la resta del teorema de Taylor. Una funció és analítica si i solament si es pot representar amb una sèrie de potències; els coeficients d'aquesta sèrie són necessàriament els determinats en la fórmula de la sèrie de Taylor.

Si a = 0, a la sèrie se l'anomena sèrie de Maclaurin. Aquesta representació té tres avantatges importants:

  • La derivació i integració d'una d'aquestes sèries es pot realitzar terme a terme, que resulten operacions trivials.
  • Es pot utilitzar per a calcular valors aproximats de la funció.
  • És possible demostrar que, si és viable la transformació d'una funció a una sèrie de Taylor, és l'òptima aproximació possible.

[edita] Història

La sèrie de Taylor pren el seu nom d'el matemàtic Brook Taylor, que va ser el primer a publicar aquestes fórmules, en 1715.

[edita] Demostració

Per a demostrar-ho, primer es demostra que qualsevol funció que es pugui derivar k+1 cops es pot expressar com la suma d'un polinomi de grau k més un terme complementari. Després es demostra que el terme complementari tendeix a zero quan k tendeix a infinit.

Primer cal demostrar que:


f(x)= \sum_{n=0}^{n=k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \int_{a}^{x}f^{k+1}(t) \frac{(x-t)^k}{k!} dt

La demostració es fa per inducció, per a k=0 és veritat ja que, com:

\int_{a}^{x}f ^'(t) dt = f(x)-f(a)

Resulta que:

f(x) = f(a) + \int_{a}^{x}f ^'(t) dt


Que és el que diu la fórmula que es vol demostrar quan se substitueix k per zero donat que 0! = 1, (x − a)0 = (x − t)0 = 1 i f0(a) = f(a)

Si és veritat per a k-1 també ho ha de ser per a k, ja que si:

f(x)= \sum_{n=0}^{n=k-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \int_{a}^{x}f^{k}(t) \frac{(x-t)^{k-1}}{(k-1)!} dt

Integrant per parts l'últim terme i simplificant en resulta la fórmula que es vol demostrar.

Ara només cal observar que el terme complementari és més petit que:

\frac{R(x-a)^{k+1}}{k!}

On R és un valor més gran que el màxim absolut de la derivada k èssima de la funció f a l'interval [a,x].

Aquesta expressió tendeix a zero quan k tendeix a infinit amb l'única condició que existeixi aquest R, és a dir, que qualsevol de les derivades enèsimes de la funció sigui finita dins de l'interval que va de a a x. Precisament aquesta és la condició per a què la funció sigui desenvolupable en sèrie de Taylor en aquest interval.

Obtingut de «http://ca.wikipedia.org/wiki/S%C3%A8rie_de_Taylor»