Variable aleatòria

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca


En estadística i teoria de probabilitat una variable aleatòria és una quantitat a la qual s'assigna una distribució de probabilitat. Per exemple, pot ser el resultat numèric d'un experiment aleatori. Des d'un punt de vista formal matemàtic, es defineix com una funció mesurable que pren valors en un espai mesurable.

X:\Omega\to\mathcal{S}

Habitualment, els valors de la variable aleatòria són un nombre real, és a dir, \mathcal{S}=\mathbb{R}. Intuïtivament, X assigna un nombre real a cada succés en l'espai mostral \Omega. El conjunt dels valors possibles d'una variable aleatòria se'l coneix com a domini de la variable aleatòria. Quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar amb X (en majúscules) i el valor observat d'aquesta variable aleatòria se sol indicar amb x (és a dir, en minúscules).

Per tal de resumir el comportament probabilístic d'una variable aleatòria X es poden calcular diverses quantitats, com ara l'esperança matemàtica o valor esperat o la variància poblacional de la distribució de probabilitat d'X. Tanmateix, en general per a caracteritzar X completament cal conèixer-ne la distribució de probabilitat, l'espai mostral i l'espai mesurable en el que pren valors. Algunes distribucions de probabilitat queden completament caracteritzades per un nombre reduït de paràmetres, com ara la distribució normal que queda definida per l'esperança i la variància.

Variable aleatòria discreta[modifica | modifica el codi]

Intuïtivament, una variable aleatòria és discreta si el seu conjunt de valors possibles es pot enumerar, tot i que el nombre de valors possibles no ha de ser pas finit. Per exemple, una variable aleatòria que pot prendre els valors  1, 2, 3, \ldots (on  \ldots indica que la seqüència segueix indefinidament).

Matemàticament, una variable aleatòria és discreta si la seva mesura de probabilitat està dominada per la mesura comptadora. La distribució d'una variable discreta sol representar-se amb la seva funció de distribució

F(x)= P(X \leq x)

o amb la funció de probabilitat

p(x)= P(X = x).

És a dir, la funció de distribució permet calcular probabilitats acumulatives i la funció de probabilitat permet calcular quina és la probabilitat que la variable aleatòria prengui un cert valor.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss).

Ω = { cc, cs, sc, ss }

Sigui X la variable aleatòria que identifica el nombre de cares obtingudes en el llençament. És a dir, X és la següent funció dels elements d'Ω:

 X(cc) = 2
 X(cs) = X(sc) = 1
 X(ss) = 0

El domini de X és S = { 0, 1, 2 }. O sigui, és una variable discreta, doncs només pot prendre els valors 0, 1 i 2.

La funció de probabilitat és  p(0)=1/4, p(1)=2/4, p(2)=1/4 . La funció de distribució ve donada per  F(0)=1/4, F(1)=1/4+2/4, F(2)= 1 .

Variable aleatòria continua[modifica | modifica el codi]

Intuïtivament, una variable aleatòria és contínua si els valors que pot prendre no es poden enumerar. Per exemple, una variable que pot prendre com a valor qualsevol nombre real.

Matemàticament, una variable aleatòria és contínua si la seva mesura de probabilitat està dominada per la mesura de Lebesgue. La distribució d'una variable contínua sol representar-se amb la seva funció de distribució

 F(x)= P(X \leq x)

o amb la funció de densitat de probabilitat

f(x)= dF(x)/d\lambda(x),

on  dF(x)/d\lambda(x) és la derivada respecte a la mesura de Lebesgue.

Exemple[modifica | modifica el codi]

El pes d'una persona és una variable contínua, assumint que podem mesurar el pes amb infinita precisió. Per exemple, podríem caracterizar el pes amb una distribució normal amb mitjana 70 i desviació estàndard 10.


Funcions de variables aleatòries[modifica | modifica el codi]

Aplicar una funció a una variable aleatòria resulta en una variable aleatòria. Més formalment, si tenim una variable aleatòria X que assigna elements de Ω a elements de R, i una funció mesurable f: RR, aleshores Y = f(X) també és una variable aleatòria, ja que la composició de funcions mesurables també és mesurable. La funció de distribució de Y és

F_Y(y) = \operatorname{P}(f(X) \le y).

Exemple 1[modifica | modifica el codi]

Sigui X una variable aleatòria contínua que pren valors en els nombres reals, i sigui Y = X2. Aleshores, Y és una variable aleatòria amb funció de distribució

F_Y(y) = \operatorname{P}(X^2 \le y).

Si y < 0, aleshores P(X2y) = 0, i per tant

F_Y(y) = 0\qquad\hbox{if}\quad y < 0.

Si y ≥ 0, aleshores

\operatorname{P}(X^2 \le y) = \operatorname{P}(|X| \le \sqrt{y})
 = \operatorname{P}(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}),

i per tant

F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})\qquad\hbox{if}\quad y \ge 0.

Exemple 2[modifica | modifica el codi]

Suposem que \scriptstyle X és una variable aleatòria amb funció de distribució

 F_{X}(x) = P(X \leq x) = \frac{1}{(1 + e^{-x})^{\theta}}

on \scriptstyle \theta > 0 és un paràmetre fixat. Considerem la variable aleatòria  \scriptstyle Y = \mathrm{log}(1 + e^{-X}). Aleshores,

 F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = P(\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \leq y) = P(X > -\mathrm{log}(e^{y} - 1)).\,

La darrera expressió pot calcular-se en termes de la funció de distribució d'X, i per tant

\begin{align}
F_{Y}(y) & = 1 - F_{X}(-\mathrm{log}(e^{y} - 1)) \\
& = 1 - \frac{1}{(1 + e^{\mathrm{log}(e^{y} - 1)})^{\theta}} \\
& = 1 - \frac{1}{(1 + e^{y} - 1)^{\theta}} \\
& = 1 - e^{-y \theta}. \\
\end{align}

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Probabilidad y Estadística. Morris H. DeGroot, publicado por Addison-Wesley Iberoamericana. (Segunda Edición)