Teorema fonamental del càlcul

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema fonamental del càlcul integral consisteix en l'afirmació de què la derivada i integral d'una funció matemàtica són operacions inverses. Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques anomenada càlcul.

Una conseqüència directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del càlcul, permet calcular la integral d'una funció utilitzant l'antiderivada de la funció que s'ha d'integrar.

Encara que els antics matemàtics grecs com Arquímedes ja disposaven de mètodes aproximats per al càlcul de volums, àrees i longituds corbes va ser gràcies a una idea originalment desenvolupada pel matemàtic anglès Isaac Barrow i les aportacions de Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.

Els teoremes fonamentals del càlcul integral[modifica | modifica el codi]

Primer teorema fonamental[modifica | modifica el codi]

Declaració[modifica | modifica el codi]

Donada una funció \,f integrable sobre l'interval \,[a,b], definim \,F sobre \,[a,b] per F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt} amb \alpha \in [a,b] fix. El teorema diu que si \,f és contínua a c \in [a,b], llavors \,F és derivable a \,c i \,F'(c) = f(c).

Demostració[modifica | modifica el codi]

Lemma important:

Suposem que f és integrable sobre [a,b] i que:

m \leq f(x) \leq M \ \forall x \in [a,b]

Llavors

m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)

Comença la demostració

Hipòtesi:

Sigui c \in (a,b).
Sigui f una funció integrable sobre l'interval [a,b] i contínua a c.
Sigui F una funció sobre [a,b] definida així: F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt amb \alpha \in [a,b]

Tesi:

F'(c)=f(c)

Per definició tenim: F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }.

Suposem que h>0, llavors F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}.

Definim m_h y M_h com:

m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\},
M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

Aplicant el lemma veiem que:

m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h.

Aleshores,

m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h

Ara suposem que h < 0, siguin:

{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \},
{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}.

Aplicant el lemma veiem que:

{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h) .

Com:

F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt},

Llavors:

{m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h.

Donat que h < 0, llavors tenim que:

{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h.

I com f és contínua a c tenim que:

\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c),

i això porta a:

F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c).

Exemples[modifica | modifica el codi]

F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2
H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} \sin(t) dt \Rightarrow H'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} 3
G(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt \Rightarrow G'(x) = \arcsin(x^2) 2x

Segon teorema fonamental[modifica | modifica el codi]

Declaració[modifica | modifica el codi]

També se l'anomena Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Donada una funció \,f contínua a l'interval \,[a,b] i sigui \,g(x) qualsevol funció primitiva de \,f, és a dir \,g'(x)=f(x), llavors:

\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)

Aquest teorema s'empra freqüentement per avaluar integrals definides.

Demostració[modifica | modifica el codi]

Hipòtesi:

Sigui f una funció contínua a l'interval [a, b]
Sigui g una funció diferenciable en l'interval [a,b] tal que g'(x)=f(x) {\ }\forall x \in [a,b]

Tesi:

\int_a^b f(x)dx = g(b)-g(a)

Demostració:

Sigui

F(x)= \int_a^x f(t)dt .

Tenim pel primer teorema fonamental del càlcul que:

F'(x)=f(x)=g'(x) {\ } \forall x \in [a,b].

Per tant:

\exists c \in \mathbb{R} {\ } tal que \forall x \in [a,b], F(x)=g(x) + c.

Observam que:

0=F(a)=g(a)+c

I d'aqui se segueix que c=-g(a); per tant:

F(x) = g(x) - g(a).

I en particular si x=b tenim que:

\int_a^b f(t)dt = F(b) = g(b) - g(a)

Exemples[modifica | modifica el codi]

\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0
\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1

Vegeu també[modifica | modifica el codi]