Forma diferencial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca



En geometria diferencial, és un objecte matemàtic pertanyent a un espai vectorial que apareix en el càlcul multivariable, càlcul tensorial o en física. Comunament una forma diferencial pot ser entesa com un operador multilineal antisimètric definit sobre l'espai vectorial tangent a una varietat diferenciable. En un espai o varietat de dimensió n , poden definir-0-formes, 1-formes, ... i n -formes.

El concepte de forma diferencial és una generalització sobre idees prèvies com el gradient, la divergència, el rotacional, etc. Aquesta generalització i la moderna notació usada en l'estudi de les formes difenciales es deu a Élie Cartan.


0-formes, 1-formes i k-formes[modifica | modifica el codi]

L'exemple no trivial més senzill d'una forma diferencial el constitueixen les 1-formes, també anomenades formes pfaffianas. Aquestes formes són la manera rigorosa de tractar els diferencials de les funcions reals sobre una varietat (per a funcions ordinàries la varietat és simplement l'espai euclidià,  \mathbb{R}^n ). Les 1-formes també apareixen en física, així per exemple les "diferencials" de les variables d'estat usades en termodinàmica són de fet 1-formes (encara que el tractament informal d'aquestes descuida aquest fet). A la geometria diferencial o estudi de les varietats diferenciables, les 1-formes actuen com a funcions lineals reals definides sobre l'espai vectorial tangent a la varietat diferencial que s'estigui considerant. Així doncs el conjunt de totes les 1-formes definides en un punt de la varietat és isomorf al espai dual del espai vectorial tangent en aquest punt.

Un altre exemple, una mica trivial són les funcions reals definides sobre una varietat, que poden ser tractades formalment com 0-formes. El nom es justifica perquè hi ha un operador anomenat diferencial exterior, que aplica k-formes en k+1-formes, ja que la diferencial exterior d'una funció real és 1-forma, s'acorda a cridar 0-formes als objectes matemàtics, com les funcions reals, la diferencial és una 1-forma. Així per exemple les funcions d'estat de la termodinàmica, el lagrangià de la mecànica lagrangiana o el hamiltonià de la mecànica hamiltoniana són de fet 0-formes definides sobre els respectius espais de configuració o espais de fases del sistema físic.

Finalment i usant el major nivell de generalitat es defineixen les k-formes. Una forma de grau k o k-forma és una secció diferenciable de la k-èsima potència exterior del fibrat cotangent de la varietat. En qualsevol punt P en una varietat, una k-forma dóna una funció multilineal des de la potència cartesiana k-èsima de l'espai tangent en P a ℝ.

Algunes definicions formals[modifica | modifica el codi]

  1. El conjunt de totes les k -formes definides en l'espai vectorial tangent d'un punt x d'una varietat es diu  \Lambda_x^k .
  2. El conjunt de totes les formes diferencials sobre una varietat de dimensió n , que resulta ser  \Lambda_x = \Lambda_x^0 \oplus \Lambda_x^1 \oplus \dots \oplus \Lambda_x^n , és el àlgebra de Grassmann de la varietat i és en si mateixa un espai vectorial de dimensió 2 n .
  3. Hi ha un operador, anomenat diferencial exterior  d: \Lambda_x^{k-1}\to \Lambda_x^{k}\qquad 1 \le k \le n
  4. Una k -forma diferencial  \omega \, s'anomena tancada si el seu diferencial exterior és zero, és a dir,  d \omega = 0 \, .
  5. Una k -forma diferencial  \alpha \, s'anomena exacta si existeix una altra una ( k -1)-forma  \beta \, tal que la seva derivada exterior és precisament  \alpha \, , és a dir,  \alpha = d \beta \, .

Integració de les formes[modifica | modifica el codi]

Article principal: teorema de Stokes

En una varietat diferenciable de dimensió  n \ge k es pot definir l'anàleg de la longitud d'una corba, l'àrea d'una la superfície, el volum, o en general l' k -volum . Cada un dels conceptes mètrics anteriors es calcula com la integració d'una forma diferencial sobre un subconjunt de la varietat diferenciable. Així el concepte de longitud està associat amb 1-formes, el d'àrea amb 2-formes (element d'àrea), el de volum amb 3-formes (element de volum), etc.

Matemàticament, les formes diferencials de grau k poden integrar sobre sobre cadenes k dimensionals o més generalment conjunts de dimensió topològica k . Si k = 0, això és simplement l'avaluació de funcions en els punts. Altres valors de k = 1, 2, 3 corresponen a les integrals de línia, a les integrals superficials, a les integrals de volum, etc. Un resultat molt important, relacionat amb la integració de formes es diu teorema de Stokes (del qual la regla de Barrow per integrals o el teorema de la divergència són casos particulars).

Operacions en formes[modifica | modifica el codi]

El conjunt de totes les k -formes en una varietat són un espai vectorial. A més, hi ha dues operacions: producte exterior i derivada exterior. Vegeu cohomologia de de Rham per a més detalls.

La relació fonamental entre la derivada exterior i la integració ve donada pel teorema de Stokes generalitzat, que també proporciona la dualitat entre la cohomologia de de Rham i l'homologia de cadenes.

Formes diferencials en física[modifica | modifica el codi]

En física l'ús de formes diferencials és comú en diverses àrees, per exemple, la termodinàmica i la teoria de la relativitat. En termodinàmica la pràctica comuna cridar formes pfaffianas a les 1-formes. Lamentablement la majoria de manuals recorren a l'ús convencional d'aquests objectes d'una forma poc o gens rigorosa. Igualment se sol anomenar diferencials exactes a les 1-formes exactes