Conjunt obert

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, intuïtivament parlant, es diu que un conjunt és obert quan tots els seus punts són punts interiors. O sigui, qualsevol punt d'un conjunt obert té un cert entorn, que conté aquest punt, que està contingut en el conjunt.

Per exemple, a \mathbb R\,, diem que (0,1)\, és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor x\, tal que 0<x<1\, sempre podrem trobar un valor \varepsilon >0\, tal que (x-\varepsilon , x+\varepsilon ) \sub (0,1)\,.

En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt (0,1]\,, no podríem dir el mateix, ja que per x=1\, no existeix cap \varepsilon >0\, que compleixi la condició.

El fet que un cert conjunt sigui obert o no, també pot dependre del conjunt continent. Així per exemple, el conjunt dels nombres racionals, entre 0 i 1, sense el 0 ni l'1, és obert a \mathbb Q\, (conjunt de tots el nombres racionals), en canvi no és obert a \mathbb R\, (conjunt de tots els nombres reals).

Definicions[modifica | modifica el codi]

Espais topològics[modifica | modifica el codi]

La topologia és l'àmbit més general en què trobem els conjunts oberts. En aquest context, el concepte de conjunt obert és fonamental.

Donat un conjunt \mathrm X\,, sigui \mathbf T\, un conjunt qualsevol de subconjunts de \mathrm X\,, que compleix les següents propietats.

  • La unió arbitrària de conjunts de \mathbf T\, és un conjunt de \mathbf T\,.
  • La intersecció finita de conjunts de \mathbf T\,, és un conjunt de \mathbf T\,.
  • Els conjunts \mathrm X\, i \emptyset \, pertanyen a \mathbf T\,.

Amb aquestes condicions, \mathrm X\, és un espai topològic, i a \mathbf T\, se l'anomena topologia de \mathrm X\,, i per definició, els conjunts de \mathbf T\, són conjunts oberts.

L'espai topològic ve especificat per la parella (\mathrm {X}, \mathbf {T})\,.

Cal observar que si es considera un conjunt \mathrm X\, amb dues topologies diferents, \mathbf T\, i \mathbf {T'}\,, es tenen dos espais topològics diferents.

Espais mètrics[modifica | modifica el codi]

En el cas dels espais mètrics, la definició de conjunt obert, es pot fer de la següent forma:

Sigui U\, un subconjunt d'un espai mètric (M,d)\,, es dirà que U\, és obert si:

\forall x \in U, \exists \varepsilon >0\;|\;\forall y \in M,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in U\,

Espais vectorials normats[modifica | modifica el codi]

En el cas dels espais vectorials normats, com espais mètrics que són, es pot dir que un conjunt U\sub \mathbb{R}^n\, és obert si:

\forall x \in U, \exists \varepsilon >0\;|\; B_\varepsilon (x) \subset U\,

on B_\varepsilon (x )\, és la bola centrada a x\, i de radi \varepsilon\,

Un conjunt obert a \mathbb{R}\,, té la propietat de ser una unió numerable d'intervals oberts. (\mathbb{R}\, i \emptyset\, també són oberts).

Propietats[modifica | modifica el codi]

Cada subconjunt A\, d'un espai topològic X\, conté a un conjunt obert, tal vegada el conjunt buit. El més gran d'aquests conjunts oberts, s'anomena interior de A\,, que es pot construir buscant la unió de tots els conjunts oberts continguts en A\,.

Donats dos espais topològics, X, Y\,, una funció f:X\rightarrow Y\, és contínua si la preimatge de cada conjunt obert en Y\, és oberta en X\,.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]