Àlgebra de Borel

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

L'àlgebra de Borel (o, per ser més precisos, la σ-àlgebra de Borel) d'un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres en T que contenen tots els oberts de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen borelians. L'existència i unicitat de la σ-àlgebra mínima es demostra amb la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, notant que el resultat de la intersecció és també una σ-àlgebra que conté T.

De manera equivalent, es pot definir la σ-àlgebra de Borel com la menor de les σ-àlgebres que contenen tots els subconjunts tancats de T.

Un subconjunt A de T és un borelià si és possible obtenir A a partir d'una successió numerable d'operacions d'unió, d'intersecció i de complementació de conjunts oberts.

Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel dels nombres reals, definida com la més petita de les σ-àlgebres en R que conté tots els intervals. Aquesta σ-àlgebra serveix per definir la mesura de Borel, així com tots els axiomes de probabilitat. Donada una variable real aleatòria X definida en un espai de probabilitat, es defineix la distribució de probabilitat com a una mesura en l'àlgebra de Borel dels reals.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]