Distribució binomial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Distribució binomial
Funció de probabilitat
Funció de massa de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Funció de distribució acumulada
Paràmetres  n \geq 0 nombre d'assaigs (sencer)
 0 \leq p \leq 1 probabilitat d'èxit (real)
Domini k \in \{0, \dots, n \}\!
Funció de probabilitat (fp) {n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}\!
Funció de distribució (cdf)  I_{1-p}(n-\lfloor k \rfloor, 1+\lfloor k \rfloor) \!
Mitjana  p \!
Mediana Un  \{\lfloor p \rfloor, \lceil p \rceil \} [1]
Moda  \lfloor (n+1) \, p \rfloor \!
Variància  p (1-p) \!
Coeficient de simetria  \frac{1-2p}{\sqrt{p (1-p)}}\!
Curtosi  \frac{1-6p (1-p)}{p (1-p)}\!
Entropia  \frac{1}{2}\ln \left (2 \pi Nep (1-p) \right)+O \left (\frac{1}{n}\right)
Funció generadora de moments (mgf)  (1-p+pe^t)^n \!
Funció característica  (1-p+pe^{it})^n \!

En estadística, la distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que mesura el nombre d'èxits en una seqüència de n assaigs independents de Bernoulli amb una probabilitat fixa p d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs.

Un experiment de Bernoulli es caracteritza per ser dicotòmic, és a dir, només són possibles dos resultats. A un d'aquests s'anomena èxit i té una probabilitat d'ocurrència p i l'altre, fracàs, amb una probabilitat q = 1 - p . En la distribució binomial l'anterior experiment es repeteix n vegades, de forma independent, i es tracta de calcular la probabilitat d'un determinat nombre d'èxits. Per n = 1, la binomial es converteix, de fet, en una distribució de Bernoulli.

Per representar que una variable aleatòria X segueix una distribució binomial de paràmetres n i p , s'escriu:

 X \sim B (n, p) \,

La distribució binomial és la base del test binomial de significació estadística.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:

  • Es llança un dau deu vegades i es compta el nombre de tresos obtinguts: X ~ B(10, 1/6)
  • Es llança una moneda dues vegades i es compta el nombre de cares obtingudes.
  • Una partícula es mou unidimensionalment amb probabilitat q de moure's cap enrere i 1-q de moure's cap endavant

Experiment binomial[modifica | modifica el codi]

Hi ha moltes situacions en què es presenta una experiència binomial. Aquest tipus d'experiències es caracteritza per estar formada per un nombre predeterminat n d'experiments iguals. Cada un dels experiments és independent de la resta (la probabilitat del resultat d'un experiment no depèn del resultat de la resta). El resultat de cada experiment ha d'admetre només dues categories (a les que s'anomena èxit i fracàs). Les probabilitats de les dues possibilitats han de ser constants en tots els experiments (es denoten com p i q o p i 1 - p ).

Es designa per X la variable que mesura el nombre d'èxits que s'han produït en els n experiments.

Quan es donen aquestes circumstàncies, es diu que la variable X segueix una distribució de probabilitat binomial, i es nota B (n, p) .

Característiques analítiques[modifica | modifica el codi]

La seva funció de probabilitat és:  \! f (x) ={n \choose x}p^x (1-p)^{n-x}\, \!

on  x = \{0, 1, 2, \dots, n \}, - sent  \!{n \choose x}= \frac{n !}{x ! (n-x) !}\, \! el nombre de combinacions de  n \, \! en  x \, \! ( n \, \! elements presos de  x \, \! en  x \, \! )

Propietats característiques[modifica | modifica el codi]

 \mathbb{E}[X] = np \,
 \text{Var}[X] = np (1-p) \,

Relacions amb altres variables aleatòries[modifica | modifica el codi]

Si  n tendeix a infinit i  \theta_n \, \! és tal que producte entre ambdós paràmetres tendeix a  \lambda \, \! , llavors la distribució de la variable aleatòria binomial tendeix a una distribució de Poisson de paràmetre  \lambda .

Finalment, es compleix que quan n és molt gran (normalment s'exigeix que n \geq 30 ) la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la distribució normal.

Propietats reproductives[modifica | modifica el codi]

Donades m variables binomials independents X i , i = 1, ..., m, de paràmetres n i , i = 1, ..., m i  \theta \, \! , la seva suma S és també una variable binomial, de paràmetres n 1 +...+ n m , i  \theta \, \! , és a dir,

 S = \sum_{i = 1}^m X_i \sim B \left(\sum_{i = 1}^m n_i, \theta\right) \,

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució binomial Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. Hamza, K. (1995). The smallest Uniform upper bound on the distance between the mean and the mitjançant of the binomial and Poisson distributions. Statistica. Provàvem. Lett. 23 21-25.