Funció generadora de moments

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En probabilitat i estadística, la funció generadora de moments o funció generatriu de moments d'una variable aleatòria X és

 M_x (t): = E \left (e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},

sempre que aquesta esperança existeixi.

La funció generadora de moments es diu així perquè, si existeix en un entorn d ' t = 0, permet generar els moments de la distribució de probabilitat :

 E \left (X^n \right) = m_x^{(n)}(0) = \frac{d^n m_x}{dt^n}(0).

Si la funció generadora de moments està definida en aquest interval, llavors determina unívocament a la distribució de probabilitat.

Un problema clau amb les funcions generadores de moments és que els moments i la pròpia funció generadora no sempre existeixen, perquè les integrals que els defineixen no són sempre convergents. Per contra, la funció característica sempre existeix i pot usar-se al seu lloc.

De forma general, on  \mathbf X = (X_1, \ldots, x_n) és un vector aleatori n -dimensional, s'usa  \mathbf t \cdot \mathbf X = \mathbf t^\mathrm T \mathbf X en lloc de  tX :

 M_{\mathbf X}(\mathbf t): = E \left (e^{\mathbf t^\mathrm T \mathbf X}\right).

Càlcul[modifica | modifica el codi]

Si X té una funció de densitat contínua, f ( x ), llavors la funció generadora de moments ve donada per

 M_x (t) = \int_{- \infty}^\infty e^{tx}f (x) \, \mathrm{d}x
 = \int_{- \infty}^\infty \left (1+tx+\frac{t^2x^2}{2 !}+\cdots \right) f (x) \, \mathrm{d}x
 = 1+tm_1+\frac{t^2m_2}{2 !}+\cdots,

on  m_i és el i -èsim moment.  m_x (-t) és, precisament, la transformada bilateral de Laplace de f ( x ).

Independentment que la distribució de probabilitat sigui contínua o no, la funció generadora de moments ve donada per la integral de Riemann-Stieltjes

 M_x (t) = \int_{- \infty}^\infty e^{tx}\, dF (x)

on F és la funció de distribució.

Si X 1 , X 2 , ..., X n és una seqüència de variables aleatòries independents (i no necessàriament idènticament distribuïdes) i

 S_n = \sum_{i = 1}^n a_i X_i,

on les a i són constants, llavors la funció de densitat de S n és la convolució de la funció de densitat de cada una de les X i i la funció generadora de moments per S n ve donada per


M_{S_n}(t) = M_{X_1}(a_1t) M_{X_2}(a_2t) \cdots M_{x_n}(a_nt).


Per variables aleatòries multidimensionals X amb components reals, la funció generadora de moments ve donada per

 M_x (t) = E \left (e^{\langle t, X \rangle}\right)

on t és un vector i  \langle t, X \rangle és el producte punt.

Relació amb altres funcions[modifica | modifica el codi]

Hi ha una sèrie de transformades relacionades amb la funció generadora de moments que són comuns en la teoria de probabilitats:

Funció característica
La linealitat  \varphi_X (t) està relacionada amb la funció generadora de moments via  \varphi_X (t) = M_{iX}(t) = m_x (it): La funció característica és la funció generadora de moments de iX o la funció generadora de moments de X avaluada en els eixos imaginaris.
Funció generadora acumulada
La funció generadora acumulada està definida com el logaritme de la funció generadora de moments; hi ha qui defineix la funció generadora acumulada com el logaritme de la funció característica, mentre que altres anomenen aquesta funció la 2 funció generadora acumulada.
Funció generadora de probabilitat

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]