Desigualtat de Hölder

En anàlisi matemàtica la desigualtat de Hölder és una desigualtat important entre integrals i una eina indispensable per a l'estudi d'espais $L^{p}$.

Sigui $(S,\Sigma ,\mu )$ un espai de mesura i siguin $p$ i $q$ dos nombres reals, amb $1\leq p,q\leq \infty$ i tals que ${1 \over p}+{1 \over q}=1$. Llavors, la desigualtat de Hölder afirma que per tot parell de funcions $f\in L^{p}(S)$ i $g\in L^{q}(S)$ es compleix que $\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$, o, de manera més explícita, que $\int _{S}fg\ d\mu \leq (\int _{S}|f|^{p}\ d\mu )^{1/p}(\int _{S}|g|^{q}\ d\mu )^{1/q}$.

En el cas $p=q=2$ és coneguda com a desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Bibliografia

• Brézis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations (en anglès). Nova York: Springer, 2011. ISBN 9780387709130.
• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G. (1934), Inequalities, Cambridge University Press, ISBN 0521358809