Esperança matemàtica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

L'esperança matemàtica (o esperança, o mitjana poblacional) és un concepte de la teoria de la probabilitat. L'esperança d'una variable aleatòria discreta és la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment multiplicat pel valor de l'esmentat esdeveniment.

Per tant, representa la quantitat mitjana que un "espera" com a resultat d'un experiment aleatori quan la probabilitat de cada esdeveniment es manté constant i l'experiment es repeteix un elevat nombre de vegades. Val a dir que el valor que pren l'esperança matemàtica en alguns casos pot no ser "esperat" en el sentit més general de la paraula - el valor de l'esperança pot ser improbable o fins i tot impossible.

Per exemple, el valor esperat quan llencem un dau equilibrat de 6 cares és 3.5. Podem fer el càlcul

    \operatorname{E}[X] = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3.5.

i cal destacar que 3.5 no és un valor possible al rodar el dau.

Una aplicació comú de l'esperança matemàtica és en les apostes o els joc d'atzar. Per exemple, la ruleta americana té 38 caselles equiprobables. El guany per encertar una aposta a un sol número paga de 35 a 1 (és a dir, cobrem 35 vegades el que hem apostat i recuperem l'aposta, de manera que rebem 36 vegades el que hem apostat). Per tant, considerant els 38 possibles resultats, l'esperança matemàtica del benefici per apostar a un sol número és:


\left( -1 \times \frac{37}{38} \right) + \left( 35 \times \frac{1}{38} \right),

que és −0.0526 aproximadament. Per tant un espera, en mitjana, perdre uns 5 cèntims per cada euro que aposta, i el valor esperat per apostar 1 euro són 0.9474 euros. En el món de les apostes, un joc on el benefici esperat és zero (no guanyem ni perdem) s'anomena un "joc just".

Història[modifica | modifica el codi]

Al segle XVII Blaise Pascal va estudiar el problema del joc a petició d'Antoine Gombaud. El problema era que els dos jugadors que volen acabar un joc d'hora i, donades les actuals circumstàncies del joc, volen dividir l'aposta justa, basada en la possibilitat que cada un té de guanyar el joc des d'aquest punt. Com han de trobar aquesta "quantitat justa"? El 1654 va mantenir correspondència amb Louis de Fermat sobre el tema dels jocs d'atzar, i és en el debat sobre aquest problema que es van bastir els fonaments de la teoria matemàtica de les probabilitats i la noció de valor esperat.

L'ús de la lletra E per indicar el valor esperat es remunta a William Allen Whitworth (1901) "Choice and chance". El símbol s'ha tornat popular ja que per als escriptors anglesos significa "Expectation", per als alemanys "Erwartungswert", i per als francesos "espérance".

Definició matemàtica[modifica | modifica el codi]

En general, si X\, és una variable aleatòria definida en un espai de probabilitat (\Omega, \Sigma, P)\, i integrable respecte a la mesura de probabilitat P, aleshores l'esperança matemàtica de X\, (denotada \operatorname{E}(X)\, o de vegades \langle X \rangle o \mathbb{E}(X)) es defineix com a

\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\, \operatorname{d}P

on la integral és una integral de Lebesgue respecte a la mesura de probabilitat P. Cal tenir en compte que no totes les variables aleatòries són integrables: no totes tenen l'esperança matemàtica definida (per exemple, la distribució de Cauchy). Dues variables amb la mateixa distribució de probabilitat tenen el mateix valor esperat, si aquest està definit.

Si X és una variable aleatòria discreta, com en l'exemple de la ruleta esmentat anteriorment, la integral es calcula d'acord amb la següent fórmula:

\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i\,

Si X és una variable aleatòria contínua, és a dir que té una funció de densitat de probabilitat f(x), aleshores la integral pot calcular-se d'acord amb la següent fórmula:

\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .

Una conseqüència directa de la definició pel cas discret es que si X és una variable aleatòria constant, és a dir X = b per algún nombre real fix b, aleshores l'esperança matemàtica de X és b.

L'esperança matemàtica d'una funció qualsevol de X, diguem g(X), es calcula

\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i g(x_i)\,

en el cas discret i

\operatorname{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \operatorname{d}x

en el cas continu.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Constants[modifica | modifica el codi]

El valor esperat d'una constant és igual a la mateixa constant, és a dir, si c és una constant, E(c) = c

Monotonicitat[modifica | modifica el codi]

Si X i Y són variables aleatòries tals que X \le Y de forma quasi segura, aleshores  \operatorname{E}(X) \le \operatorname{E}(Y).

Linealitat[modifica | modifica el codi]

L'esperança matemàtica \operatorname{E} és un operador lineal:

\operatorname{E}(X + c)= \operatorname{E}(X) + c\,
\operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,
\operatorname{E}(aX)= a \operatorname{E}(X)\,

Combinant els resultats de les tres equacions prèvies, veiem que:

\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,
\operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y)\,

per dues variables aleatòries X i Y qualsevol (que han d'haver estat definides en el mateix espai de probabilitat) i nombres reals a i b qualssevol.

Esperança iterada[modifica | modifica el codi]

Esperança iterada per variables aleatòries discretes[modifica | modifica el codi]

Per a dues variables aleatòries discretes X,Y definim l'esperança condicional:

 \operatorname{E}(X|Y)(y) = \operatorname{E}(X|Y=y) = \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y).

on \operatorname{P}(X=x|Y=y). és la probabilitat de l'esdeveniment X=x condicional a Y=y. Per tant, \operatorname{E}(X|Y) és una funció de y.

L'esperança de X satisfà


\operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right)= \sum\limits_y \operatorname{E}(X|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y) \,
=\sum\limits_y \left( \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \right) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\,
=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\,
=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(Y=y|X=x) \cdot \operatorname{P}(X=x) \,
=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \cdot \left( \sum\limits_y \operatorname{P}(Y=y|X=x) \right) \,
=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \,
=\operatorname{E}(X).\,

Per tant, arribem a la següent equació:

\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).

La part dreta de l'equació s'anomena esperança iterada. Aquesta proposició també es coneix com a llei de l'esperança total.

Esperança iterada per a variables aleatòries qualssevol[modifica | modifica el codi]

Per a variables aleatòries contínues, el resultat és completament analog. La definició d'esperança condicional empra funcions de densitat de probabilitat i les sumes esdevenen integrals (respecte a la mesura de Lebesgue). El resultat principal continua essent vàlid:

\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).

La llei de l'esperança iterada és vàlida també per variables aleatòries amb una distribució qualssevol, per exemple variables que segueixen una mixtura de variables contínues i discretes. En lloc d'emprar integrals respected la mesura de Lebesque, la integral es pren respecte la llei de probabilitat de X condicional a Y (veure teorema de Bayes).

Desigualtat[modifica | modifica el codi]

Si la variable X sempre és menor que la variable Y (és a dir, X \leq Y de forma quasi segura o amb probabilitat 1), l'esperança d'X és menor que la d'Y:

Si  X \leq Y, aleshores  \operatorname{E}(X) \leq \operatorname{E}(Y).

En particular, tenint en compte que  X \leq |X| i que  -X \leq |X| , el valor absolut de l'esperança matemàtica d'una variable aleatòria és menor o igual a l'esperança del seu valor absolut:

|\operatorname{E}(X)| \leq \operatorname{E}(|X|)