Derivada parcial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, s'anomena derivada parcial d'una funció de diverses variables a la seva derivada respecte a una d'aquestes variables, deixant les altres constants (de manera oposada a la derivada total, en la qual totes les variables poden variar). Les derivades parcials són útils a càlcul vectorial i geometria diferencial.


La derivada parcial d'una funció f respecte a la variable x és representada per \frac{ \partial f }{ \partial x } o \partial_xf o fx (on \partial és una 'd'arrodonida, coneguda com el 'símbol de la derivada parcial', que coincideix amb la lletra ciríl·lica cursiva "de" is es pronuncia en català de la mateixa manera que la lletra "d".

Exemples[modifica | modifica el codi]

Considerant el volum V d'un con; depèn de l'alçada h del con i del seu radi r, d'acord amb la fórmula

V = \frac{ r^2 h \pi }{3}

La derivada parcial de V respecte de r és

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}

i descriu la velocitat a la qual el volum del con canvia si es varia el seu radi i es manté constant l'alçada. La derivada parcial de V respecte de h és

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}

i representa la velocitat a la qual aquest volum canvia si es varia l'alçada i es deixa el radi constant.

Un altre exemple té a veure amb l'àrea A d'un cercle, encara que només depengui del radi r del cercle, d'acord amb la fórmula

A = \pi r^2

La derivada parcial de A respecte de r és

\frac{ \partial A}{\partial r} = 2 \pi r

Les equacions de les que es desconeix la derivada parcial de certa funció s'anomenen equacions de derivades parcials, i són omnipresents en tota la ciència.

Notació[modifica | modifica el codi]

Pels exemples següents, sigui f una funció de x, y i z.

Derivades parcials de primer ordre:

\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f

Derivades parcials de segon ordre:

\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f

Derivades mixtes de segon ordre:

\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = f_{xy} = f_{yx} = \partial_{xy} f = \partial_{yx} f

Derivades parcials d'ordre superior i derivades mixtes:

\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}

Quan es tracta amb funcions de múltiples variables, algunes d'aquestes variables poden estar relacionades entre elles, i pot ser necessari especificar explícitament quines variables es mantenen constants. En camps com la mecànica estadística, les derivades parcials de f respecte de x, deixant y i z constants, s'expressen sovint com a

\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}

Definició formal i propietats[modifica | modifica el codi]

De la mateixa manera que les derivades ordinàries, les derivades parcials es defineixen com un límit. Sigui U un subconjunt obert de Rn i f : UR una funció. Es defineix la derivada parcial de f al punt a = (a1, ..., an) ∈ U respecte a la variable i-èsima xi com a

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{ 
f(a_1, \dots, a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - 
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

Fins i tot si totes les derivades parcials ∂f/∂xi(a) existeixen en un punt a, la funció no té per què ser contínua en aquest punt. En canvi, si totes les derivades parcials existeixen al voltant de a i són contínues en a, llavors f és totalment diferenciable en aquest entorn, i la derivada total és contínua. En aquest cas, es pot dir que f és una funció C1

La derivada parcial ∂f/∂xi es pot veure com una altra funció definida en U i també pot ser diferenciable parcialment. Si totes les derivades parcials mixtes existeixen i són contínues, anomenem a f una funció C2; en aquest cas, les derivades parcials es poden intercanviar mitjançant el teorema de Clairaut:

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]