Mecànica estadística

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La mecànica estadística (o termodinàmica estadística)[1] és una branca de la física que fent servir la teoria de la probabilitat, adreça l’estudi termodinàmic de sistemes formats per un gran nombre de partícules.

La mecànica estadística mitjançant tècniques estadístiques, que inclou eines matemàtiques per al tractament d'un gran nombre de partícules, és capaç de deduir el comportament dels sistemes físics macroscòpics a partir de certes hipòtesis sobre els elements o partícules que conformen aquests sistemes. D’aquesta manera la mecànica estadística aconsegueix explicar la termodinàmica partint de les teories clàssiques i quàntiques de l’estàtica i la mecànica a nivell microscòpic.

Els sistemes macroscòpics són aquells que tenen un nombre de partícules semblant al nombre d'Avogadro, el valor del qual és aproximadament igual a 1023 és grandíssim, per la qual cosa la mida de tals sistemes sol ser fàcilment concebible per l'ésser humà, encara que la mida de cada partícula constituent sigui d'escala atòmica. Un exemple de sistema macroscòpic és un got d'aigua. La importància de l'ús de les tècniques estadístiques per estudiar aquests sistemes rau en el fet que en ser sistemes tan grans és impossible, fins i tot pels ordinadors més potents, portar un registre de l'estat físic de cada partícula i predir el comportament del sistema mitjançant les lleis de la mecànica, a més de ser impracticable conèixer tanta informació d'un sistema real.

La mecànica estadística proporciona una interpretació a nivell molecular de quantitats termodinàmiques definides inicialment a nivell macroscòpic (com per exemple, el treball, la calor, l’energia lliure i l’entropia). Permet relacionar les propietats termodinàmiques a nivell macròscopic dels materials amb la informació espectroscòpica de molècules individuals. El principal avantatge de la mecànica estadística respecte de la termodinàmica clàssica és l’habilitat de fer prediccions basant-se en les propietats microscòpiques de la matèria. Ambdues teories es basen en un mateix principi, el segon principi de la termodinàmica, per mitjà de l’entropia. Tanmateix, en la termodinàmica l’entropia només es pot determinar empíricament mentre que en la mecànica estadística l’entropia és una funció de la distribució dels microestats del sistema.

El física austríac Ludwig Boltzmann va ser qui el 1870 va iniciar l’estudi de la mecànica estadística en els seus treballs, molts dels quals van ser publicats el 1896 en la seva obra sobre la teoria de gasos.[2] Els papers originals de Boltzmann sobre la interpretació estadística de la termodinàmica, el teorema H, la teoria dels fenòmens de transport, l’equilibri tèrmic, l’equació d’estat dels gasos així com altres temes similar ocupen unes 2000 pàgines en els simposis de l’Acadèmia de Viena i d'altres societats. El químic nord-americà J. Willard Gibbs va proposar el nom de “termodinàmica estadística” tenint en compte l’ús de l’estadística que fa aquesta branca de la física per explicar fenòmens termodinàmics. El físic escocès James Clerk Maxwell va ser qui, segons Gibbs, va fer servir per primera vegada el 1871 el nom de “mecànica estadística”.[3]

Visió general[modifica | modifica el codi]

El problema principal en la mecànica estadística és com calcular la distribució d’una donada quantitat d’energia E entre les N partícules idèntiques d’un sistema.[4] L’objectiu és poder entendre i interpretar les propietats macroscòpiques mesurables dels materials en funció de les propietats de les seves partícules constituents i de les interaccions entre ells. Això s’aconsegueix lligant les funcions termodinàmiques a equacions de la mecànica quàntica. Les dues quantitats principals en la mecànica estadística són el factor de Boltzmann i la funció de partició.

Fonaments[modifica | modifica el codi]

Els temes més importants tractats per la mecànica estadística són:

Per últim, i més important, l’entropia estadística, és a dir, la definició formal de l’entropia d’un sistema termodinàmic des de la perspectiva estadística. Està definida com:

S = k_B \ln \Omega \!

on kB és la constant de Boltzmann 1.38066×10−23 J K−1 i Ω és el nombre de microestats corresponents al macroestat termodinàmic observat.

Aquesta equació només és vàlida si cada microestat és igualment accessible, és a dir, si cada microestat té la mateixa probabilitat d’ocórrer.

Distribució de Boltzmann[modifica | modifica el codi]

Si el sistema és prou gran es pot fer servir la distribució de Boltzmann perquè s’aproxima bastant al resultat correcte.

 n_i \propto \exp\left(-\frac {U_i}{k_B T}\right), \,

on ni representa el nombre de partícules que ocupen un nivell i o el nombre de possibles microestats corresponents a un macroestat i; Ui representa l’energia del nivell i; T és la temperatura; i kB és la constant de Boltzmann.

Si N és el nombre total de partícules o estats, la distribució de densitats de probabilitat serà:


 \rho _i \equiv \frac {n_i}{N} = \frac {\exp\left(-\frac {U_i}{k_B T}\right)} { \sum_j \exp\left(-\frac {U_j}{k_B T}\right)},

on la suma en el denominador és sobre tots els possibles nivells.

Història[modifica | modifica el codi]

El 1738, el físic i matemàtic suís Daniel Bernoulli va desenvolupar les bases de la teoria cinètica de gasos. En la seva obra, Bernoulli suggeria que els gasos estan formats per un gran nombre de molècules movent-se en totes direccions, que l’impacte sobre una superfície d’aquestes molècules provoca la pressió que hom sent, i que el que sentim com a calor és simplement l’energia cinètica del moviment d’aquestes partícules.

El 1859, en haver-se assabentat del treball elaborat per Rudolf Clausius sobre la difusió de molècules, el físic escocès James Clerk Maxwell va formular la distribució de Maxwell de les velocitats moleculars, la qual dóna com a resultat la proporció de molècules que tenen una determinada velocitat dins d’un rang específic. Aquesta es pot considerar la primera llei estadística de la física.[5] Cinc anys més tard, el 1864, a Ludwig Boltzmann, un jove estudiant austriac, li van arribar els treballs de Maxwell i li vas inspirar tant que va dedicar gran part de la seva vida al desenvolupament d’aquesta matèria.

Així doncs, a finals del segle XIX ja s’havien descrit els fonaments de la mecànica estadística gràcies a les contribucions de físics com Maxwell, Boltzmann, Max Planck, Clausius i Josiah Willard Gibbs, qui va començar a aplicar l’estadística i la teoria atòmica quàntica als gasos ideals. Van ser Maxwell i Boltzman, treballant independentment, qui predominantment van aconseguir conclusions similars a la natura estadística dels gasos. Tot i això, hom considera Boltzmann el pare de la mecànica estadística. Ell va ser qui va desenvolupar el 1875 la relació entre l’entropia S i la multiplicitat Ω, el nombre de distribucions microscòpiques (microestats) possibles que originen un mateix estat macroscòpic (macroestat) per a un sistema en particular.[6]

Postulat fonamental[modifica | modifica el codi]

El postulat fonamental de la mecànica estadística (també conegut com el postulat d’equiprobabilitat a priori) és el següent:

Si un sistema aïllat es troba en equilibri, hi ha la mateixa probabilitat de trobar-lo en qualsevol dels seus microestats accessibles.

Aquest postulat és una assumpció fonamental en la mecànica estadística perquè afirma que un sistema en equilibri no té preferència per cap dels seus microestats disponibles. Donats Ω microestats d’un sistema amb una determinada energia, la probabilitat de trobar el sistema en un determinat microestat és p = 1/Ω.

Aquest postulat és necessari perquè permet concloure que per a un sistema en equilibri, l’estat termodinàmic (macroestat) que resultaria del major nombre de microestats és també el macroestat més probable del sistema.

El postulat queda justificat en part, per a sistemes clàssics, pel teorema de Liouville, el qual especifica que si la distribució dels punts d’un sistema al voltant de l’espai de les fases és uniforme en un temps determinat, roman així per a temps futurs.

El mecanisme de balanç detallat proporciona una justificació similar per a un sistema discret.

Això apareix també en la definició de la funció d’informació (en el context de la teoria de la informació):


I = - \sum_i \rho_i \ln\rho_i = \langle -\ln \rho \rangle.

Quan totes les probabilitats ρi són iguals, I és màxima i tindrem el mínim possible d’informació sobre el sistema. La funció és mínima quan la informació és màxima (per exemple, quan només una ρ és igual a 1 i la resta a 0, és a dir, quan sabem l’estat en què el sistema està).

Aquesta funció de la informació és la mateixa que la funció entròpica reduïda en la termodinàmica.

Col·lectivitats estadístiques[modifica | modifica el codi]

La formulació moderna de la mecànica estadística està basada en la descripció d’un sistema físics mitjançant una col·lectivitat que representi totes les possibles configuracions del sistema i les probabilitats de presentar cada configuració.

Cada col·lectivitat està associada a una funció de partició, de la qual, mitjançant manipulacions matemàtiques, se’n poden extraure valors de les propietats termodinàmiques del sistema. En funció de la relació del sistema amb la resta de l’univers, es fa servir una o altra de les tres classes de col·lectivitats. Ordenades segons la complexitat, les tres col·lectivitats són:

  • Col·lectivitat microcanònica: descriu un sistema totalment aïllat, amb energia constant i sense intercanvi d’energia o massa amb la resta de l’univers.
  • Col·lectivitat canònica: descriu un sistema en equilibri tèrmic amb el medi que només pot intercanviar energia en forma de calor amb l’exterior.
  • Col·lectivitat macrocanònica: s’empra en sistemes oberts que poden intercanviar energia i massa amb l’exterior.
Resum de col·lectivitats Col·lectivitats
Microcanònica Canònica Macrocanònica
Variables fixes E, N, V T, N, V T, μ, V
Característiques microscòpiques

Nombre de microestats

 \Omega

Funció de partició canònica Z = \sum_k e^{-\beta E_k}

Funció de partició macrocanònica  \Xi = \sum_k e^{ -\beta (E_k - \mu N_k ) }

Funció macroscòpica S =  k_B \ln \Omega F = - k_B T \ln Z F - \mu N =- k_B T \ln \Xi

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mecànica estadística Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. Els termes mecànica estadística i termodinàmica estadística es fan servir de manera intercanviable. Física estadística és un terme més ampli que inclou la mecànica estadística, però de vegades s'usa també com a sinònim de mecànica estadística
  2. Ebeling, Werner; Sokolov, Igor M. Statistical Thermodynamics and Stochastic Theory of Nonequilibrium Systems. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005, p. 3–12. ISBN 978-90-277-1674-3.  (section 1.2)
  3. Mayants, Lazar. The enigma of probability and physics. Springer, 1984, p. 174. ISBN 978-90-277-1674-3. 
  4. Schrodinger, Erwin. Statistical Thermodynamics. Dover Publications, Inc., 1946. ISBN 0-486-66101-6. OCLC 20056858. 
  5. Mahon, Basil. The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell. Hoboken, NJ: Wiley, 2003. ISBN 0-470-86171-1. OCLC 52358254 62045217. 
  6. Perrot, Pierre. A to Z of Thermodynamics. Oxford University Press, 1998. ISBN 0-19-856552-6. OCLC 123283342 38073404.