Cinemàtica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Wikibooks A Viquillibres hi ha llibres de contingut lliure i altres textos relatius a Cinemàtica

La cinemàtica (del grec κινεω, Kine, moviment) és la branca de la mecànica clàssica que estudia les lleis del moviment dels cossos sense tenir en compte les causes que el produeixen, limitant-se essencialment, a l'estudi de la trajectòria en funció del temps.

A la cinemàtica s'utilitza un sistema de coordenades per descriure les trajectòries, anomenat sistema de referència. La velocitat és el ritme amb que canvia la posició un cos. L'acceleració és el ritme amb què canvia la seva velocitat. La velocitat i l'acceleració són les dues principals quantitats a com canvia la seva posició en funció del temps.

Història[modifica | modifica el codi]

Els primers conceptes sobre cinemàtica es remunten al segle XIV, particularment aquells que formen part de la doctrina de la intensitat de les formes o teoria dels càlculs (calculation). Aquests desenvolupaments es deuen a científics com William Heytesbury i Richard Swineshead, a Anglaterra, hi ha altres, com Nicolás Oresme, de l'escola francesa.

Cap al 1604, Galileu Galilei va fer els seus famosos estudis del moviment de caiguda lliure i d'esferes en plans inclinats per tal de comprendre aspectes del moviment rellevants en el seu temps, com el moviment dels planetes i de les bales de canó. Posteriorment, l'estudi de la cicloide realitzat per Evangelista Torricelli (1608-47), va configurant el que es coneixeria com Geometria del Moviment.

El naixement de la cinemàtica moderna té lloc amb la conferència de Pierre Varignon el 20 gener 1700 davant l'acadèmia real de les ciències de París. En aquesta ocasió defineix la noció d'acceleració i mostra com és possible deduir de la velocitat instantània amb l'ajuda d'un simple procediment de càlcul diferencial.

A la segona meitat del segle XVIII es van produir més contribucions per Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler i André-Marie Ampère, continuant amb l'enunciat de la llei fonamental del centre instantani de rotació en el moviment pla de Daniel Bernoulli (1700 - 1782).

El vocable Cinemàtica va ser creat per André-Marie Ampère (1775-1836), qui va delimitar el contingut de la Cinemàtica i va aclarir la seva posició dins del camp de la Mecànica. Des d'aleshores i fins als nostres dies la Cinemàtica ha continuat el seu desenvolupament fins a adquirir una estructura pròpia.

Amb la Teoria de la relativitat especial d'Albert Einstein el 1905 es va iniciar una nova etapa, la cinemàtica relativista, on el temps i l'espai no són absoluts, i sí ho és la velocitat de la llum.

Elements bàsics de la cinemàtica[modifica | modifica el codi]

Els elements bàsics de la Cinemàtica són: Espai, Temps i Mòbil.

A la Mecànica Clàssica s'admet l'existència d'un espai absolut, és a dir, un espai anterior a tots els objectes materials i independent de l'existència d'aquests. Aquest espai és l'escenari on tenen lloc tots els fenòmens físics, i se suposa que totes les lleis de la física es compleixen rigorosament en totes les regions d'aquest espai. L'espai físic es representa en la Mecànica Clàssica mitjançant un espai puntual euclidià.

Anàlogament, la Mecànica Clàssica admet l'existència d'un temps absolut que transcorre de la mateixa manera en totes les regions de l'Univers i que és independent de l'existència dels objectes materials i de l'ocurrència dels fenòmens físics.

El mòbil més simple que podem considerar és el punt material o partícula. hi ha 3 conceptes lloc posició, rapidesa, velocitat i acceleració

Conceptes bàsics de la cinemàtica[modifica | modifica el codi]

Magnituds físiques secundàries en la cinemàtica[modifica | modifica el codi]

Cinemàtica del sòlid rígid[modifica | modifica el codi]

S'entén com a sòlid rígid aquell sòlid tal que en qualsevol instant la distància entre dos punts pertanyents al mateix es manté constant.

La cinemàtica del sòlid rígid es pot estudiar en dos models:

  • Cinemàtica plana: quan la trajectòria de cada un dels punts d'un sòlid rígid es mantingui paral·lela a un pla qualsevol al llarg del temps, podem estudiar el sistema en dues dimensions. En aquest cas els vector de velocitat i acceleració seran també paral·lels a aquest pla, i els vectors de velocitat i acceleració angulars perpendiculars. Estudiar un sistema mitjançant cinemàtica plana ens permet simplificar el càlcul, ja que algunes expressions es poden reescriure de manera més simplificada i, a més, podem utilitzar vectors de dues components.
  • Cinemàtica a l'espai: qualsevol cas no comprès en el cas anterior. En aquest cas els vectors posició, velocitat, acceleració i velocitat i acceleració angulars poden tenir qualsevol direcció. Tots ells caldrà treballar-los amb tres components, cosa que allarga el càlcul. En la resolució de sistemes a l'espai poden aparèixer dificultats afegides respecte al cas anterior degut a que tindrem més variables (les magnituds angulars passen de tenir una component a tenir-ne tres).

Es defineixen tres tipus de moviment:

Translació[modifica | modifica el codi]

Es diu que un sòlid es troba en translació quan qualsevol segment solidari al sòlid que nosaltres podem imaginar es manté paral·lel a ell mateix en el temps.n Quan un sòlid es troba en translació, la velocitat i acceleració de tots els seus punts és igual en mòdul i direcció. La velocitat i acceleració angulars sempre seran 0.


Rototranslació[modifica | modifica el codi]

Es diu que un sòlid rígid es troba en rototranslació quan no compleix les condicions anteriors, és a dir, quan la velocitat de dos dels seus punts no és igual en mòdul o direcció.

Les següents equacions ens permeten descriure el moviment d'un sòlid rígid en l'espai:

\overrightarrow{{{V}_{B}}}=\overrightarrow{{{V}_{A}}}+\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{AB}

\overrightarrow{{{A}_{B}}}=\overrightarrow{{{A}_{A}}}+\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\omega }\times \left( \overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{AB} \right)

Per a la cinemàtica plana, podem simplificar l'anterior equació:

\overrightarrow{{{A}_{B}}}=\overrightarrow{{{A}_{A}}}+\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{AB}-\left\| \overrightarrow{\omega } \right\|\cdot \overrightarrow{AB}

Cal posar èmfasi que aquestes equacions només es poden aplicar entre punts del mateix sòlid rígid.


Rotació[modifica | modifica el codi]

La rotació pura és un cas concret de la rototranslació. Es diu que un cos es troba en rotació pura quan l'eix al voltant del qual giren els seus punts es manté constant al llarg del temps. La velocitat de qualsevol punt d'aquest sòlid serà:

\overrightarrow{V}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}

On \overrightarrow{r} és el vector posició des de l'eix de rotació fins al punt on volem calcular la velocitat.

Una descripció mes detallada d'aquest cas es pot trobar a la pàgina del Moviment circular.

Cinemàtica de sistemes. Moviment relatiu[modifica | modifica el codi]

Article principal: Moviment relatiu

L'estudi del moviment d'un sòlid rígid pot tenir el seu interès, no obstant, a la pràctica el que trobem són sistemes formats per diferents sòlids rígids que es mouen de manera conjunta, els quals ens interessarà analitzar per determinar el moviment.

Podem considerar bàsicament dos casos:

  • Peces unides per articulacions: en aquest cas s'acostuma a considerar que les velocitats i acceleracions en el punt de l'articulació són les mateixes per a les dues o més peces que intervenen. És el cas més senzill.
  • Peces amb moviment relatiu: són muntatges on dues peces no tenen un punt comú que es mantingui constant, sinò que es mouen una respecte l'altra. En aquest cas cal tenir en compte aquest moviment relatiu per estudiar la cinemàtica del sistema, tal com sindica a continuació.

Només resta destacar que les equacions presentades no tenen en compte la teoria de la relativitat d'Einstein, de manera que només són vàlides per a velocitats "petites" respecte la velocitat de la llum. No obstant això la cinemàtica, com a part de la mecànica, estudia habitualment sistemes on els efectes d'aquesta teoria són completament imperceptibles.

Velocitat relativa entre dos sòlids rígids[modifica | modifica el codi]

Article principal: Velocitat relativa

Donats dos sòlids rígids que es mouen respecte un sistema de referència fix (anomenat habitualment terra o bancada) i que a més es mouen un respecte de l'altre, disposem de la velocitat d'un d'ells respecte del sistema fix (per exemple, perquè està fixat a la bancada mitjançant una articulació) i de la velocitat del segon sòlid respecte del primer. L'equació que els relaciona, que de fet és l'expressió vectorial per a velocitats de la relativitat de Galileu, és:

\overrightarrow{{{V}_{2}}}=\overrightarrow{{{V}_{1}}}+\overrightarrow{{{V}_{2/1}}}
On:
  • V2: Velocitat del cos 2 respecte del sistema de referència fix; anomenada velocitat absoluta del cos respecte de la bancada.
  • V1: Velocitat del cos 1 respecte del sistema de referència fix; anomenada velocitat d'arrossegament amb què el primer cos arrossega el segon al moure's.
  • V2/1: Velocitat del cos 2 respecte del cos 1. Dit d'altre manera, velocitat del cos 2 referenciada a un sistema de referència que es mou amb el cos 1. S'anomena velocitat relativa amb què es mou el segon cos respecte del primer. És freqüent que el moviment d'un sòlid respecte l'altre estarà limitat per una guia o similar, de manera que en coneixerem la direcció fàcilment.

Per a les velocitats angulars podem establir la següent equació:

\overrightarrow{{{\omega}_{2}}}=\overrightarrow{{{\omega}_{1}}}+\overrightarrow{{{\omega}_{2/1}}}

Per posar un exemple podem imaginar una persona que camina sobre un tren en moviment: V1 seria la velocitat del tren respecte del terra, V2/1 la de la persona respecte del vago de tren i V2 la de la persona respecte del terra, obtinguda de combinar (sumar) la velocitat de la persona respecte del tren i la del tren respecte del terra.

Per resoldre sistemes reals en moltes ocasions no disposarem d'aquestes dades directament, però podrem aplicar diverses condicions que ens limitaran els diferents moviments. A més, en moltes ocasions, caldrà plantejar les equacions per a cada un dels sòlids que formen el nostre sistema i resoldre-les conjuntament, en forma de sistema lineal d'equacions.

Acceleració relativa entre dos sòlids rígids[modifica | modifica el codi]

Article principal: Acceleració relativa

Donat un plantejament similar al de l'apartat anterior on tenim dos sòlids rígids que es mouen respecte un sistema de referència fix i que a més es mouen un respecte de l'altre; disposem de les velocitats de tots els cossos, l'acceleració d'un d'ells respecte del sistema fix i l'acceleració del segon sòlid respecte del primer. L'equació que relaciona les acceleracions és:

\overrightarrow{{{A}_{2}}}=\overrightarrow{{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{A}_{2/1}}}+\overrightarrow{{{A}_{cor}}} \ on \ \overrightarrow{{{A}_{cor}}}=2\cdot \overrightarrow{{{\omega }_{1}}}\times \overrightarrow{{{V}_{2/1}}}

Per a les acceleracions angulars:

\overrightarrow{{{\alpha }_{2}}}=\overrightarrow{{{\alpha }_{1}}}+\overrightarrow{{{\alpha }_{2/1}}}+\overrightarrow{{{\omega }_{1}}}\times \overrightarrow{{{\omega }_{2/1}}}


Models cinemàtics[modifica | modifica el codi]

Moviments rectilinis (una dimensió)[modifica | modifica el codi]

Moviments en el pla (dues dimensions)[modifica | modifica el codi]

Registre del moviment[modifica | modifica el codi]

La tecnologia avui en dia ens ofereix moltes formes de registrar el moviment efectuat per un cos. Així, per mesurar la velocitat es disposa del radar de trànsit el funcionament es basa en l'efecte Doppler. El taquímetre és un indicador de la velocitat d'un vehicle basat en la freqüència de rotació de les rodes. Els caminants disposen de podòmetres que detecten les vibracions característiques del pas i, suposant una distància mitjana característica per a cada pas, permeten calcular la distància recorreguda. El vídeo, unit a l'anàlisi informàtic de les imatges, permet igualment determinar la posició i la velocitat dels vehicles.

Articles relacionats[modifica | modifica el codi]


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cinemàtica Modifica l'enllaç a Wikidata