Nombre decimal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els nombres decimals o sistema decimal estan basats en els múltiples del nombre 10. La noció del nombre decimal no és gaire rellevant pel que fa en les matemàtiques, perquè és relativa a la manera d'escriure els nombres - aqui la base deu - i no és relativa als mateixos nombres. Haver escollit la base deu és una decisió arbitrària de la humanitat (degut, segurament, a la quantitat de dits de les dues mans), absent de significat matemàtic.

Entre els nombres decimals podem diferenciar els nombres racionals, que es poden expressar mitjançant una fracció de dos nombre enters, i els nombres irracionals, els quals no es podrien expressar amb una fracció de dos nombres enters. Dins del subgrup de racionals ens trobem els exactes i els periòdics (que poden ser purs i mixtes).

El sistema decimal està basat en la notació dels nombres en un sistema numeral en base deu, per la qual cosa s'usen uns símbols anomenats dígits: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Aquests dígits s'usen amb el separador decimal que indica el començament de la part fraccionària, i amb els signes + (positiu) o – (negatiu) per indicar el signe.

Els nombres decimals s'escriuen a la dreta del seperador decimal i (si són racionals) poden ser expressats com a fraccions amb denominador 10 (deu)o els seus múltiples. Així tenim:

,25 = 25/100

,245362 = 245362/1000000


Hi ha procediments establerts per a trobar la fracció que genera un nombre decimal racional (fracció generatriu).

Notació decimal[modifica | modifica el codi]

A la llengua catalana en l'actualitat es fan servir bàsicament tres formes d'anotar un nombre amb part decimal, segons el signe emprat com a separador decimal:

El punt decimal: s'empra un punt (.) Per separar la part entera de la decimal, aquest mètode és l'utilitzat en les calculadores electròniques i en els ordinadors, poques vegades s'utilitza en la notació de xifres manualment.


   3.141592 \;

La coma decimal: s'empra una coma (,) com a separador, aquesta forma en comú en les publicacions i s'utilitza també en les notacions manuals.


   3,141592 \;

El apòstrof decimal: l'apòstrof (') de vegades també anomenat coma decimal és la forma usual de separar la part decimal d'un nombre en les notacions a mà.


   3'141592 \;

En tots els casos, les xifres decimals, no se separen en grups amb espais en blanc o un altre signe, sinó que s'escriuen seguides, sigui quin sigui el nombres de xifres decimals que formi la part decimal del nombre en qüestió.

Característiques[modifica | modifica el codi]

Si a es un nombre racional, les propietats següents són equivalents i caracteritzen el fet que el nombre que tens és decimal:

  • Existeix m\in \mathbb Z i p\in \mathbb N com per exemple : a = \frac{m}{10^p}.
  • La fracció irreductible té la forma \frac{b}{5^m \times 2^p} d'un enter relatiu de m i p son enters naturals.
  • a té dues propietats decimals diferents

Exemples:

1/2, 1/4, 1/5, 1/8 y 1/10 son decimals, però no 1/3, 1/6, 1/7 ni 1/9.

Els nombres decimals es poden representar en rectes numèriques.

Les fraccions i les arrels quadrades, com també el nombre p, es poden expressar en forma decimal. Per escriure'ls i fer-hi càlculs, es pren una aproximació per arrodoniment, doncs no podem treballar amb infinites xifres decimals. Per exemple, podem prendre 3,1416 en comptes del nombre per fer els càlculs, o bé 3,1415927, que ens dóna la calculadora, tot i que sabem que té infinites xifres decimals.

L'arrel quadrada de dos nombres, nombre irracional[modifica | modifica el codi]

L'existència dels nombres irracionals, és coneguda desde Pitàgores, no és tan intuïtiva com la dels nombres racionals, és fàcil d'entendre que si un nombre enter el dividim entre altres, el resultat és un nombre decimal, però que existeixin nombres decimals que no poden ser expressats com la relació entre dos nombres enters no sembla tan obvi, com per exemple l'arrel quadrada de dos.

Tipus de nombres decimals[modifica | modifica el codi]

  • Nombres decimals racionals: Si una quantitat es pot expressar com la fracció de dos enters és un nombre racional.
  • Nombres decimals irracionals: Els nombres irracionals presenten una part decimal que no es pot repetir periòdicament, i no poden ser representats per una fracció entre dos nombres enters.
  • Nombres decimals exactes: La seva part decimal està formada per una sèrie de dígits finita. Per tant, es poden escriure amb tots els dígits. Per obtenir la fracció equivalent és suficient amb indicar per numerador el nombre racional sense seprador decimal, i per denominador l'un seguit de tants zeros com xifres té la part decimal, aquesta fracció es pot simplificar si és possible.
  • Nombres decimals periòdics purs: La seva part decimal està formada per una sola sèrie de dígits que es repeteixen indefinidament com a bloc complet. És a dir, els mateixos nombres s'escriuen de manera cíclica un darrere l'altre. Per tant, es pot aprofitar aquesta característica per escriure només el primer bloc de nombres que es repeteix i posar-hi una barra horitzontal al damunt, que voldrà dir que aquell bloc es repeteix.
  • Nombres decimals periòdics mixts: La seva part decimal està composta per dues sèries de dígits. La primera, que segueix la coma decimal, està formada per una sèrie arbitrària de dígits però finita. S'anomena anteperiode. La segona, que segueix a continuació, és una sèrie de dígits que es repeteixen de manera cíclica com en el cas dels decimals periòdics purs. Aquesta segona part s'anomena part periòdica.
  • Nombres especials: La seva part decimal es infinita i no té una seqüencia repetida. Tindriem d'exemple el nombre π (pi), o la solució de l'arrel quadrada de 2, que són nombres on no es pot tenir el nombre exacte del seu valor, i ens quedem amb l'aproximació que més ens convingui. Un nombre fàcilment definible com el 1,123456789101112131415... seria un altre exemple de decimal no racional, si bé les seves xifres tenen un ordre establert. 0,122333444455555... seria també un germà dels anteriors, i totes aquelles sèries lògiques que us podeu imaginar.