Nombre hipercomplex
De Viquipèdia
| Sistema de nombres en matemàtiques |
| Conjunts de nombres |
|
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ
|
| Nombres destacables |
| Nombres amb propietats destacables |
|
Primers, abundants, amics, compostos, defectius, perfectes, sociables, algebraics, transcendents |
| Extensions dels nombres complexos |
|
| Nombres Especials |
|
| Altres nombres importants |
|
Seqüència d'enters |
| Sistemes de numeració |
|
Àrab, armeni, àtica (grega), babilònica, ciríl·lica, egípcia, etrusca, grega, hebrea, índia, jònica (grega), japonesa, khmer, maia, romana, tailandesa, xinesa. |
En matemàtica, els nombres hipercomplexos són una extensió dels nombres complexos construïts mitjançant eines de l'àlgebra abstracta, tals com quaternions, octonions, ...
[edita] Estructura algebraica
Per ser més precisos, formen àlgebres n-dimensionales sobre els nombres reals. Però cap d'aquestes extensions no forma un cos, principalment perquè el cos dels números complexos està algebraicament tancat (veure Teorema fonamental de l'àlgebra).
Els quaternions, octonions i setenions poden ser generats aplicant la construcció de Cayley-Dickson. Les àlgebres de Clifford són una altra família de nombres hipercomplexos.
[edita] Representacions geomètriques
Així com els números complexos poden ser vistos com punts en un pla, els números hipercomplexos es poden veure com punts en algun espai euclidià de més dimensions (4 dimensions per als quaternions, tessarins i coquaternions, 8 pels octonions i biquaternions, 16 per als setenions).
Un altre cas intersante és el dels números hipercomplexos unitaris, que tenen mòdul unitat, aquests poden ser representats com n-esferes:
- Els quaternions unitaris poden ser representats com S3.
- Els octonions unitaris poden ser representats com S7.
Aquestes representacions estan molt lligades a la possibilitat de caracteritzar una n-esfera Sn com a fibrós d'Hopf sobre un espai base Sm amb m < n on cada fibra sigui Sn − m.
[edita] Mòdul d'un número hipercomplex
Si com s'ha explicat abans els números hipercomplexos es representen per vectors d'un espai euclidià. Per als números hipercomplexos que l'admeten (tots menys els setenions de Cayley-Dickson), el mòdul d'un número hipercomplex no és cap altra cosa que el mòdul del vector que els representa. El mòdul d'un número hipercomplex |Z| pot calcular-se com l'arrel del producte del número hipercomplex per seu hipercomplex conjugat:
