Funció zeta de Riemann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La funció zeta de Riemann ζ(s) és una funció de variable complexa s definida, per a qualsevol s amb part real > 1, per


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}

és a dir, és la sèrie de Dirichlet amb a = 1. Quan la part real de s és superior a 1, aquesta sèrie és convergent. Bernhard Riemann demostrà que la funció es pot estendre a una funció holomorfa definida per a tots els nombres complexos s amb s ≠ 1. Aquesta és la funció a la que es refereix la hipòtesi de Riemann i té una importància cabdal en teoria de nombres (especialment per la seva relació amb els nombres primers) i en diversos camps de la Física.

Alguns valors de ζ(s) per als primers nombres enters són:


\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty ; que és la sèrie harmònica.
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} ; la sèrie objecte del problema de Basilea.
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.202...  ; anomenada constant d'Apéry
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} +\cdots = \frac{\pi^4}{90}
\zeta(5) = 1 + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5}+ \cdots = 1.036...
\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6}+ \cdots = \frac{\pi^6}{945}
\zeta(7) = 1 + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7}+ \cdots = 1.0083...
\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8}+ \cdots = \frac{\pi^8}{9450}
\zeta(9) = 1 + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{3^9}+ \cdots = 1.0020...
\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}}+ \cdots = \frac{\pi^{10}}{93555}


Relació amb els nombres primers[modifica | modifica el codi]

La relació d'aquesta funció amb els nombres primers fou descoberta per Leonhard Euler, que trobà


\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

és a dir, que la funció zeta és igual a un producte infinit estès a tots els nombres primers p. En realitat, aquest resultat és conseqüència de la fórmula d'una sèrie geomètrica i del teorema fonamental de l'aritmètica.

Però a més, els zeros (o arrels) de la funció zeta, els punts on ζ(s) = 0, tenen una gran importància, perquè determinades integrals de camí que utilitzen la funció ln(1/ζ(s)) es poden fer servir per aproximar la funció de recompte de nombres primers, π(x)


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció zeta de Riemann Modifica l'enllaç a Wikidata