Brahmagupta

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Brahmagupta
Representació de la imatge de Brahmagupta
Representació de la imatge de Brahmagupta
Naixement 598[cal citació]
probablement Bhinmal, Rajasthan, Índia
Mort 670[cal citació]
probablement Ujjain, Madhya Pradesh, Índia
Residència Índia
Camp Matemàtiques i Astronomia
Institucions Observatori astronòmic d'Ujjain
Ha influenciat Bhaskara II
Influències de Aryabhata

Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (598-668) va ser un matemàtic i astrònom indi, del segle VII dC que va escriure dos importants treballs de matemàtiques i astronomia: el Brahma Sphuta Siddhanta, un tractat teòric escrit el 628, i el Khanda Khadyaka, un text d'orientació més pràctica. Va ser el primer que va incorporar regles per calcular amb el zero. Els seus textos estan realitzats en versos el·líptics, una pèctica comuna entre els matemàtics indis i. Ni hi ha constància de com va evolucionar l'obra de Brahmagupta.[1]

Vida[modifica | modifica el codi]

Es suposa que va néixer a Bhinmal (Rajasthan) fill de Jisnu Gupta,[2] encara que alguns autors ho qüestionen,[3] ja que es basa en interpretacions de comentaristes posteriors. Probablement fou un adorador de Xiva.[4]

L'any del seu naixement és indubtablement el 598, ja que ell mateix diu en una de les seves obres que la va escriure l'any 550 de l'era Saka (o sigui el 628 dC) quan tenia 30 anys.[5] També menciona en una de les seves obres que era fill de Jisnu.

No sabem res dels seus mestres, però les seves fonts inclouen les obres d'Aryabhata, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira i altres matemàtics indis antics amb els que és molt crític.[6]

Brahmagupta va arribar a ser el cap de l'Observatori Astronòmic d'Ujjain, el més important centre científic de l'Índia en aquell temps.[2]

Obra[modifica | modifica el codi]

Només s'han conservat dues obres seves:

  • El Brahma Sphuta Siddhanta (BSS) un tractat d'astronomia i matemàtiques escrit l'any 628 dC. Conté 25 capítols[7] amb un total de 1008 versos.
  • El Khanda Khadyaka (KK) un tractat d'astronomia pràctica escrit l'any 665 dC. Conté dues parts; la primera amb nou capítols i la segona amb sis.

Ambdues obres, com era habitual a l'època, estan escrites en vers de mètrica arya i no contenen demostracions. Malgrat això, es poden enumerar un bon nombre d'aportacions originals de Brahmagupta a les ciències matemàtiques i astronòmiques.

Matemàtiques[modifica | modifica el codi]

Àlgebra[modifica | modifica el codi]

Brahmagupta va donar la solució general de l'equació lineal dins capítol divuit de Brahma Sphuta Siddhanta,

La diferència entre rupas, quan s'inverteix i es divideix per la diferència de les incògnites, és la incògnita en l'equació. El rupas és [restats a banda] menor que de quin el quadrat i la incògnita es van restar.[8]


el qual és una solució per l'equació  b x + c = d x + e equivalent a x = \tfrac{e-c}{b-d}, on rupas es refereix a les constants c i e. Posteriorment va donar dues solucions equivalents generals a l'equació de segon grau

18.44. Disminuir per la meitat [nombre] l'arrel quadrada de la' rupas multiplicat per quatre el quadrat i incrementat pel quadrat de la meitat [nombre]; dividir la resta per dues vegades l'arrel. [El resultat és] el [nombre] mig.
18.45. Qualsevol que sigui l'arrel quadrada del rupas multiplicat pel quadrat [i] incrementat pel quadrat de la meitat de la incògnita, disminuir a la meitat de la incògnita [i] divideixi [la resta] pel seu quadrat. [El resultat és] la incògnita.[8]

els quals són, respectivament, solucions per l'equació a x^2 + b x = c equivalent a,

x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}

i

x = \frac{\sqrt{ac+\tfrac{b^2}{4}}-\tfrac{b}{2}}{a}.

Va poder solucionar sistemes d'equacions indeterminades simultànies declarant que la variable desitjada, primer ha de ser aïllada, i llavors l'equació ha de ser dividida per la variable desitjada del coeficient. En particular, va recomanar utilitzar "el polvoritzador" per solucionar equacions amb múltiples incògnites.

18.51. Restar els colors diferents del primer color. [La resta] dividida pel primer [el coeficient del color] és la mesura del primer. [Termes] de dos en dos [són] considerats [quan són reduïts a] similars divisors, [i així] repetidament. Si hi ha molts [colors], el polvoritzador [és per ser utilitzat].[8]

Com l'àlgebra de Diofant, l'àlgebra de Brahmagupta era sincopat. L'addició s'indicava col·locant els nombres un al costat de l'altre, la resta col·locant un punt sobre el subtrahend, i la divisió col·locant el divisor sota el dividend, similar a la notació actual, però sense una línia entre els dos operands. La multiplicació, l'evolució i les incògnites van ser representades amb abreviatures de termes apropiats.<[n. 1]

Aritmètica[modifica | modifica el codi]

Les quatre operacions fonamentals (addició, substracció, multiplicació i divisió) ja eren conegudes a moltes cultures abans de Brahmagupta. El sistema actual està basat en el sistema de nombres hinduaràbic que apareix per primer cop al siddhanta de Brahmasputa. Allà hi descriu la multiplicació com “El multiplicand es repetit com una corda per bestiar, tants cops com parts hi ha al multiplicador i es multiplica repetidament per ells i els productes se sumen junts. És la multiplicació. O el multiplicand es repeteix tantes vegades com parts hi hagi al multiplicador”.[9]

L'aritmètica índia va ser coneguda a l'Europa Medieval com "Modus Indoram" o mètode dels Indis. Al Brahma Sphuta Siddhanta, la multiplicació va ser anomenada Gomutrika. Al començament de capítol dotze del llibre, titulat Càlcul , Brahmagupta detalla operacions en fraccions. S'espera que el lector conegui les operacions aritmètiques bàsiques així com l'arrel quadrada, tot i que explica com trobar el cub i l'arrel cúbica d'un enter i després dóna regles per facilitar el càlcul de quadrats i arrels quadrada. També aporta regles per tractar cinc tipus de combinacions de fraccions, \tfrac{a}{c} + \tfrac{b}{c}, \tfrac{a}{c} \cdot \tfrac{b}{d}, \tfrac{a}{1} + \tfrac{b}{d}, \tfrac{a}{c} + \tfrac{b}{d} \cdot \tfrac{a}{c} = \tfrac{a(d+b)}{cd}, i \tfrac{a}{c} - \tfrac{b}{d} \cdot \tfrac{a}{c} = \tfrac{a(d-b)}{cd}.[10]

Sèrie[modifica | modifica el codi]

Brahmagupta també va proporcionar la suma dels quadrats i cubs del primer n enters.

12.20. La suma dels quadrats és aquella [suma] multiplicada per dues vegades el [nombre de] pas[es] incrementades per un [i] dividit per tres. La suma dels cubs és el quadrat d'aquella [suma] Piles d'aquests amb idèntiques pilotes [també poden ser comptades].[11]

Aquí Brahmagupta mostra el resultat en termes de la suma dels primers n enters, més que en termes de n com és a la pràctica moderna.[12]

Aportava la suma dels quadrats dels primers n nombres naturals com n(n+1)(2n+1)/6 i la suma dels cubs dels primers n nombres naturals com (n(n+1)/2)².

Zero i nombres negatius[modifica | modifica el codi]

El Brahma Sphuta Siddhanta és el primer llibre que esmenta el zero com a nombre, per això Brahmagupta és considerat el primer a formular aquest concept. Va donar regles d'utilització del zero amb nombres negatius i positius. Zero més un nombre positiu és un nombre positiu i afegint un nombre negatiu al zero és un nombre negatiu etc. Al text es tracta el zero com un nombre en si mateix, més que com un simple marcador de dígits en la representació d'un altre nombre com varen fer els babilonis o com un símbol que expressa la manca de quantitat com va fer Ptolemeu i els romans.

Al capítol divuit del seu Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta descriu operacions amb nombres negatius.[13] Primer descriu l'addició i la substracció,

18.30. [La suma] de dos positius és positiu, de dos negatius, un negatiu; d'un positiu i un negatiu [la suma] és la seva diferència; si són iguals, serà zero. La suma d'un negatiu i zero és negatiu, [i] d'un positiu i zero, és positiu, [i] de dos zeros, és zero.

[...]

18.32. Un negatiu menys zero és negatiu, un positiu [menys zero], positiu; zero [menys zero] és zero. Quan un positiu és restat d'un negatiu o un negatiu d'un positiu, llavors el resultat és l'addició.[14]

Va descriure la multiplicació,

18.33. El producte d'un negatiu i un positiu és negatiu, de dos negatives és positiu, i de positius és positiu; el producte de zero i un negatiu, o zero i un positiu, o de dos zeros és zero.[14]

Però la seva descripció de Divisió entre zero difereix de la nostra comprensió moderna,

18.34. Un positiu dividit per un positiu o un negatiu dividit per un negatiu és positiu; un zero dividit per un zero és zero; un positiu dividit per un negatiu és negatiu; un negatiu dividit per un positiu és [també] negatiu.
18.35. Un negatiu o un positiu dividit per zero té aquest [zero] com el seu divisor, o zero dividit per un negatiu o un positiu [té aquest negatiu o positiu com el seu divisor]. El quadrat d'un negatiu o d'un positiu és positiu; [el quadrat] de zero és zero. Allò del qual [el quadrat] és el quadrat és [la seva] arrel quadrada.[14]

Aquí Brahmagupta fixa que \tfrac{0}{0} = 0 i quant a la qüestió de \tfrac{a}{0} on a \neq 0 no ho va definir.[15] Les seves regles aritmètiques per als nombres negatius i el zero és bastant proper a la definició moderna, exceptuant que en les matemàtiques modernes la divisió per zero queda indefinit.

Sistemes de Congruència Lineal[modifica | modifica el codi]

Un dels problemes en els que es va interessa Brahmagupta va ser el de trobar un nombre enter que dividit per dos altres enters donés uns residus establerts. En notació moderna, seria trobar un N tal que:

N \equiv a \pmod r\ i
N \equiv b \pmod s\

El problema resideix, finalment, en la resolució d'una equació diofàntica:

a + rx = b + sy

per la qual dóna un algoritme.[16]

18.51. Restar els colors diferents del primer color. [La resta] dividida pel primer [el coeficient del color] és la mesura del primer. [Termes] de dos en dos [són] considerats [quan són reduïts a] similars divisors, [i així] repetidament. Si hi ha molts [colors], el polvoritzador [és per ser utilitzat].[8]

Com l'àlgebra de Diofant, l'àlgebra de Brahmagupta era sincopat. L'addició s'indicava col·locant els nombres un al costat de l'altre, la resta col·locant un punt sobre el subtrahend, i la divisió col·locant el divisor sota el dividend, similar a la notació actual, però sense una línia entre els dos operands. La multiplicació, l'evolució i les incògnites van ser representades amb abreviatures de termes apropiats.[17]

Anàlisi diofàntic[modifica | modifica el codi]

Ternes pitagòriques[modifica | modifica el codi]

Dins el capítol dotze del seu Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta situa les terns pitagòrics,

12.39. L'alçada d'una muntanya multiplicada per un multiplicador donat és la distància a una ciutat; no esborrar-lo. Quan és dividit pel multiplicador augmentat per dos, és el salt d'un del dos que fan el mateix viatge.[11]

o en altres paraules, per una longitud donada m i un multiplicador arbitrari x, sigui a = mx i b = m + mx/(x + 2). Llavors m, a, i b formen un tern pitagòric.[11]

Equació de Pell[modifica | modifica el codi]

Brahmagupta va continuar aportant una relació de recurrència per a la generació de solucions per a certs casos d'equacions diofàntiques de segon grau, com ara Nx^2 + 1 = y^2 (anomenada Equació de Pell) per utilitzar l'algorisme euclidià. L'algorisme d'Euclides li era conegut com el "polvoritzador", ja que trenca els nombres en trossos cada vegada més petits.[18]


La naturalesa dels quadrats:
18.64. [Poseu] dues vegades l'arrel quadrada d'un quadrat donat per un multiplicador i augmenteu o disminuïu per un [nombre] arbitrari. El producte del primer [parell], multiplicat pel multiplicador, amb el producte del darrer [parell], és el darrer calculat.
18.65. La suma dels productes és el primer. L'addició és igual al producte dels sumands. Les dues arrels quadrades, dividit per l'addició o la subtracció, és el sumand rupas.[8]

El clau a la seva solució era la identitat,[19]

(x^2_1 - Ny^2_1)(x^2_2 - Ny^2_2) = (x_1 x_2 + Ny_1 y_2)^2 - N(x_1 y_2 + x_2 y_1)^2

la qual és una generalització d'una identitat que va ser descoberta per Diofant,

(x^2_1 - y^2_1)(x^2_2 - y^2_2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 - (x_1 y_2 + x_2 y_1)^2.

Utilitzant la seva identitat i el fet que si (x_1, y_1) i (x_2, y_2) són solucions a les equacions x^2 - Ny^2 = k_1 i x^2 - Ny^2 = k_2, respectivament, llavors (x_1 x_2 + N y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1) és una solució a x^2 - Ny^2 = k_1 k_2, va poder trobar solucions integrals a l'equació de Pell a través d'una sèrie d'equacions de la forma x^2 - Ny^2 = k_i. Malauradament, Brahmagupta no va ser capaç d'aplicar la seva solució uniformement per tots els valors possibles de N, més aviat, només va poder mostrar que si x^2 - Ny^2 = k té una solució d'enter per k = ±1, ±2, o ±4, llavors x^2 - Ny^2 = 1 té una solució. La solució general de l'equació de Pell hauria d'esperar fins a Bhaskara II el c. 1150.[19]

Trigonometria[modifica | modifica el codi]

Taula de sinus[modifica | modifica el codi]

Dins Capítol 2 del seu Brahmasphutasiddhanta, sota el títol Longituds Planetàries reals, Brahmagupta presenta una taula de sinus:

2.2-5. Els sinus: Els Progenitors, bessons; Ursa Major, bessons, el Vedas; els déus, focs, sis; sabors, daus, els déus; la lluna, cinc, el cel, la lluna; la lluna, fletxes, sols [...] [20]

Aquí Brahmagupta fa servir noms d'objectes per representar els dígits dels nombres de valor posicional, què era comú amb dades numèriques en els tractats en sànscrit. Els progenitors representa els 14 Progenitors ("Manu") en cosmologia índia o 14, "els bessons" significa (2), " Ursa Major" representa les set estrelles de Ursa Major (7), " Vedas" refereix al 4 Vedas (4), els daus representa el nombre de costats del dau tradicional (6), etcètera. Aquesta informació pot ser traslladada a la llista de sinus, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, i 3270, amb el ser de radi 3270.[n. 2]

Fórmula d'interpolació[modifica | modifica el codi]

El 665, Brahmagupta va idear i utilitzar un cas especial fórmula d'interpolació de Newton–Stirling de segon ordre per a interpolarnous valors de la funció sinus d'altres valors ja tabulats.[21] La fórmula dóna una estimació pel valor d'uns funció f a un valor a + xh del seu argument (amb h > 0 i −1 ≤ x ≤ 1) quan el seu valor és ja sabut en a − h, a i a + h.

La fórmula per l'estimació és:

f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\frac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \frac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2!}.

On Δ és una diferència finita de primer-ordre, per exemple

 \Delta f(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ f(a+h) - f(a).

Geometria[modifica | modifica el codi]

Fórmula de Brahmagupta[modifica | modifica el codi]

Esquema per referència
Article principal: Fórmula de Brahmagupta

El resultat més famós en geometria fet per Brahmagupta és la coneguda fórmula que porta el seu nom, per quadrilàters cíclics. Donades les longituds dels costats de qualsevol quadrilàter cíclic, Brahmagupta va donar una aproximació i una fórmula exacta de l'àrea de la figura,

12.21. L'àrea aproximada és el producte de les meitats de les sumes dels costats i costats oposats d'un triangle i un quadrilàter. L'[àrea] exacta és l'arrel quadrada del producte de les meitats de les sumes dels costats disminuït per [cadascun dels] costats del quadrilàter.[11]

Així que donades les longituds p, q, r i s d'un quadrilàter cíclic, l'àrea aproximada és (\tfrac{p + r}{2}) (\tfrac{q + s}{2}) mentre que, deixant t = \tfrac{p + q + r + s}{2}, l'àrea exacta és

\sqrt{(t - p)(t - q)(t - r)(t - s)}.

Tot i que Brahmagupta no va determinar explícitament que aquests quadrilàters foren cíclics, és evident a partir de les seves regles que aquest és el cas.[22] La fórmula d'Heró és un cas especial d'aquesta fórmula i es pot derivar igualant un dels costats a zero.

Astronomia[modifica | modifica el codi]

Va ser a través de Brahmasphutasiddhanta que els àrabs van aprendre d'astronomia índia.[23] Edward Saxhau va declarar que "Brahmagupta, va ser qui va ensenyar astronomia als àrabs".[24] El famós califa abbàssida Al-Mansur (712-775) va fundar la ciutat de Bagdad, situada a la vora del Tigris, i la va convertir en un centre d'aprenentatge. El califa va convidar a un estudiós de la Ujjain amb el nom de Kankah el 770 a.C. Kankah va utilitzar la Brahmasphutasiddhanta per a explicar el sistema hindú d'astronomia aritmètica. Muhammad al-Fazari va traduir l'obra de Brahmugupta a l'àrab a petició del califa.

En el setè capítol de la seva Brahmasphutasiddhanta, titulat Mitja lluna creixent, Brahmagupta refuta la idea que la Lluna està més lluny de la Terra que el Sol, una idea que es manté en les escriptures. Ho fa explicant la il·luminació de la Lluna per part del sol.[25]

« 7.1. Si la lluna estigués per sobre del sol, com podria el poder de creixement i decreixement, etc., ser produït a partir de càlcul de la [longitud de la] lluna? gairebé la meitat [seria] sempre brillant.

7.2. De la mateixa manera que la meitat visible pel sol d'una olla de peu a la llum del sol és brillant, i la meitat no visible fosca, per tant és [la il·luminació de] la lluna [si] és sota el sol.
7.3. La brillantor s'incrementa en la direcció del sol. Al final de la brillantor [és a dir, creixent] a mig mes, el meitta més a prop és brillant i la meitat llunyana fosca. Per tant, l'elevació de les banyes [de la mitja lluna creixent es pot derivar] del càlcul.[...][25]

»

Explica que ja que la Lluna és més propera a la Terra que al Sol, el grau de la part il·luminada de la Lluna depèn en les posicions relatives del Sol i la Lluna, i això pot ser computat de la mida de l'angle entre els dos cossos.[n. 3]

Algunes de les contribucions importants que va fer Brahmagupta dins l'astronomia són: mètodes per a calcular la posició de cossos celestials amb el temps (efemèrides), sortides i postes, conjuncions, i el càlcul dels eclipsis solars i llunars.[26] Brahmagupta va criticar el punt de vista Puranic que la Terra era plana o buida. En comptes d'això, va observar que la Terra i el cel eren esfèrics i que la Terra està en moviment. El 1030, el astrònom musulmà Abū al-Rayhān al-Bīrūnī, en el seu Ta'rikh al-Hind, més tard traduït al llatí com a Indica, va comentar l'obra de Brahmagupta i va escriure que els crítics van argumentar:

« Si tal era el cas, les pedres i els arbres caurien de la terra. »
Abū al-Rayhān al-Bīrūnī[27]

Segons al-Biruni, Brahmagupta va respondre a aquestes crítiques amb següent argument basat en la gravitació:

« Al contrari, si aquest fos el cas, la terra no aconseguiria mantenir un ritme constant i uniforme dins les pautes dels cels, els pranes dels temps. [...] Totes les coses pesades se senten atrets cap al centre de la terra. [...] La terra en tots els seus costats és la mateixa, la gent a la terra tots estem en peu, i totes les coses pesades cauen a la terra per una llei de la naturalesa, perquè és la naturalesa de la terra l'atraure i mantenir les coses, com ho és la naturalesa de l'aigua el fluir, la del foc el cremar, i la del vent el moure's ... La terra és l'únic que baixa, i les llavors sempre tornen a la mateixa, en qualsevol direcció que es puguin llençar i mai no podem pujar des de la terra. »
— Brahmagupta[28]

Sobre la gravetat de la Terra va dir: "els cossos cauen cap a la terra, ja que és en la naturalesa de la terra atreure cossos, tant com és en la naturalesa de l'aigua fluir."[29]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Boyer 1991, "China and India" p. 221 "va ser el primer a donar un solució general de l'equació lineal diofàntica ax + by = c, on a, b, i c són enters. [...] Es pot acreditar en bona mesura a Brahmagupta haver donat solucions integrals a totes les equacions lineals diofàntiques, mentre que el mateix Diofant hi havia estat satisfet en donar un solució particular d'una equació indeterminada. En la mesura que Brahmagupta va utilitzar alguns dels mateixos exemples que Diofant, es pot tornar a pensar en una possible influència grega a l'Índia - o la possibilitat que comptaren amb una font comuna, possiblement de Babilònia. És interessant també observar que l'àlgebra de Brahmagupta, com el de Diofant, era sincopat."
  2. Plofker 2007, pàg. 419–420 La taula de sinus de Brahmagupta, com moltes altres dades numèriques dels tractats sànscrits, està codificada majoritàriament en notació de nombre concret que utilitza noms d'objectes per representar els dígits dels nombres de valor posicional, començant amb el menys significant. [...]
    Hi ha catorze Progenitors ("Manu") en cosmologia índia; "bessons" naturalment posicions per 2; les set estrelles de Ursa Important (les "Sàlvies") per 7, el quatre Vedas, i els quatre costats dels daus tradicionals van utilitzar dins joc, per 6, etcètera. Per això Brahmagupta enumera el seu primer sis sinus-valors com 214, 427, 638, 846, 1051, 1251. (els seus divuit sinus restants són 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, 3270. El Paitamahasiddhanta , tanmateix, especifica un sinus de valor inicial de 225 (tot i que la resta de la seva taula de sinus s'ha perdut), implicant un radi trigonomètric de R = 3438 aprox= C(')/2π: una tradició seguida, tal com s'ha vist, per Aryabhata. Ningú sap per què Brahmagupta va escollir-ho en comptes de normalitzar aquests valors a R = 3270.
  3. (Plofker 2007, pàg. 419–420) Brahmagupta discusses the illumination of the moon by the sun, rebutting an idea maintained in scriptures: namely, that the moon is farther from the earth than the sun is. In fact, as he explains, because the moon is closer the extent of the illuminated portion of the moon depends on the relative positions of the moon and the sun, and can be computed from the size of the angular separation α between them.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. JOC/EFR. «Brahmagupta biography» (en anglès). School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland, 2000. [Consulta: 20 juliol 2013].
  2. 2,0 2,1 Sharma 2007, p. 29.
  3. Chatterjee 1970, p. 2.
  4. Chatterjee 1970, p. 3.
  5. Prakash 1968, p. 51.
  6. Selin 1997, p. 162.
  7. Chatterjee 1970, p. 3, si bé a Selin 1997, p. 162, diu que són 24.
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 Plofker 2007, pàg. 428–434
  9. A partir de la traducció anglesa del Brahma Sputha Siddhanta de H. T Colebrook, 1817
  10. Plofker 2007, p. 422.
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 Plofker 2007, p. 421–427.
  12. Plofker 2007, p. 423.
  13. Katz 1993, p. 212.
  14. 14,0 14,1 14,2 Plofker 2007, p. 428–434.
  15. Boyer. «China and India». A: , 1991, p. 220. «However, here again Brahmagupta spoiled matters somewhat by asserting that 0 \div 0 = 0, and on the touchy matter of a \div 0, he did not commit himself:» 
  16. Katz 1993, p. 205-207.
  17. Boyer 1991, p. 221.
  18. Stillwell 2004, p. 44–46.
  19. 19,0 19,1 Stillwell 2004, p. 72-74.
  20. Plofker 2007, p. 419.
  21. Joseph 2000, p. 285–286.
  22. Plofker 2007, p. 424.
  23. «Brahmagupta, and the influence on Arabia» (en anglès). [Consulta: 23 desembre 2007].
  24. Al Biruni, India translated by Edward sachau.
  25. 25,0 25,1 Plofker 2007, p. 420.
  26. Teresi 2002, p. 135.
  27. Al-Biruni (1030), Ta'rikh al-Hind (Indica)
  28. Brahmagupta, Brahmasphutasiddhanta (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)
  29. Khoshy, Thomas. Elementary Number Theory with Applications (en anglès). Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2. 

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Les seves dues obres han estat editades (traduïdes a l'anglès):

  • Chatterjee, Bina (ed.). The Khandakhadyaka of Brahmagupta (en anglès), 1970. ISBN 0-7923-4066-3 [Consulta: 20 juliol 2013]. 
  • Prakash, Satya i Sharma, Ram Swarup (eds.). Brāhmasphuṭasiddhāntaḥ . Iṇḍiyana Insṭīṭyūta Āpha Aisṭrānaumikala Eṇḍa Saṃskṛta Risarca, 1966. (sànscrit) i (anglès)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Brahmagupta