Grup resoluble

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques un grup resoluble és un grup que es pot construir a través d'extensions des de grups abelians. La importància històrica i el nom d'aquest tipus de grups prové de la teoria de Galois, que pot demostrar que una equació polinòmica és resoluble per radicals si i només si el seu grup de Galois és un grup resoluble.

Definició[modifica | modifica el codi]

Un grup G es diu resoluble si existeix una família G0, ..., Gn de subgrups de G tals que

\{ e\} = G_0 \subseteq G_1\subseteq \ldots \subseteq G_{n-1} \subseteq G_n = G,

on cada Gi és un subgrup normal del Gi+1 i el grup quocient G_{i+1}/G_i és un grup abelià, per a cada i dins de { 1 , ... , n−1 }.

En resum, un grup és resoluble si té una cadena subnormal finita amb quocients abelians.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Propietats[modifica | modifica el codi]

La resolubilitat d'un grup està tancada sota certes operacions:

  • Tot subgrup d'un grup resoluble és resoluble.
  • Si G és resoluble, i hi ha un homomorfisme exhaustiu de G a H, aleshores H és resoluble. Equivalentment (pel teorema d'isomorfia), si G és resoluble i N n'és un subgrup normal, llavors G/N és resoluble.
  • De fet, G és resoluble si i només si tant N com G/N són resolubles.
  • Si G i H són grups resolubles, el seu producte directe G × H també és resoluble.
  • Si H i G/H són resolubles llavors G també ho és. En particular, si N i H són resolubles, el seu producte semidirecte és resoluble.