Grup (matemàtiques)

Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que detallem més endavant.

Molts objectes estudiats en matemàtiques tenen estructura de grup. Entre aquests trobem els nombres enters, els racionals, els reals i els complexos amb l'operació de la suma, així com els racionals, reals i complexos sense el zero amb l'operació del producte. També té estructura de grup el conjunt de les matrius quadrades no singulars amb el producte o el conjunt de les funcions invertibles amb la composició.

Definició de grup

Un grup és un conjunt G on hi ha definida una operació binària $*:G\times G\rightarrow G$ amb les propietats següents:

• $\exist e \in G\ \ \forall a\in G\ \ a*e=e*a=a$ (existència d'element neutre)

• $\forall a \in G\ \ \exist b\in G\ \ a*b=b*a=e$ (existència d'element invers)

• $\forall a,b,c \in G\ \ a*(b*c)=(a*b)*c$ (associativitat)

Si a més G verifica la propietat addicional següent:

• $\forall a,b\in G\ \ a*b=b*a$ (commutativitat)

es diu que el grup (G,*) és un grup abelià o commutatiu Per indicar que un grup és abelià és comú notar l'operació binària pel símbol + en comptes de *.

Definició alternativa

Es pot donar una definició alternativa de grup, que té l'avantatge que no conté existencials. Un grup és un conjunt G on hi ha definides tres operacions, una binària anomenada producte, una unària anomenada invers, i una zero-ària anomenada element neutre, notades respectivament

• $(a,b)\mapsto a*b$
• $a\mapsto a^{-1}$
• $e \,$

i que compleixen les propietats següents:

• $\forall a,b,c\in G\ \ a*(b*c)=(a*b)*c$
• $\forall a\in G\ \ a*e=e*a=a$
• $\forall a\in G\ \ a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$

Propietats bàsiques

De l'element $e$ de la primera propietat se'n diu element neutre. Un grup només té un element neutre, perquè si suposem que té dos elements neutres $e_1, e_2$ aplicant dos cops la primera propietat tenim

$e_1=e_1* e_2=e_2$

De l'element $b$ de la segona propietat se'n diu element invers de $a$. La segona propietat afirma que cada element del grup té almenys un invers. A més tot element té com a màxim un invers, perquè si $a$ tingués dos elements inversos $b_1, b_2$ llavors tindriem

$b_1=b_1*e=b_1*(a*b_2)=(b_1*a)*b_2=e*b_2=b_2$

Com que l'element invers d'un element $a$ de G és únic el notem $a^{-1}$. L'invers del neutre és el neutre. L'invers de l'invers d'un element és ell mateix. Amb la nostra notació:

$(a^{-1})^{-1}=a$

Si $a,b\in G$ llavors $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ perquè tenim

$(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})=e$

$(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)=e$

(posar altres propietats bàsiques)

Morfismes de grups

Siguin $(G,*)$ i $(G',\cdot)$ dos grups amb les seves respectives operacions. Hi ha moltes maneres d'assignar a cada element de $(G,*)$ un element de $(G',\cdot)$. De entre totes les maneres que hi ha de fer això

$\phi:G\rightarrow G'$

anomenarem morfismes de grups a aquelles que verifiquen un "bon comportament" respecte de les estructures de grup de cada grup. Concretament anomenarem morfismes de grups a totes les aplicacions $\phi:G\rightarrow G'$ que verifiquen:

• $\forall x,y\in G\ \ \phi(x*y)= \phi(x)\cdot\phi(y)$

Els morfismes de grups no són aplicacions massa alocades. La idea és arribar a definir amb precisió què significa que dos grups siguin equivalents tot i no ser la mateixa cosa conjuntísticament parlant.

Primera propietat senzilla: si $e\in G$ i $e'\in G'$ són els respectius elements neutres i $\phi:G\rightarrow G'$ és morfisme llavors $\phi(e)=e'$. Vegem-ho:

$e'=\phi(e)\cdot (\phi(e))^{-1}=\phi(e*e)\cdot (\phi(e))^{-1}=\phi(e)\cdot\phi(e)\cdot \phi(e)^{-1}$

$=\phi(e)\cdot e'=\phi(e)$

Moltes vegades aquesta propietat s'imposa en la definició de morfisme, però ja es veu que no cal.

Segona propietat senzilla: si $\phi:G\rightarrow G'$ és un morfisme de grups, llavors $\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}$. Vegem-ho:

$\phi(a)\cdot\phi(a^{-1})=\phi(a*a^{-1})=\phi(e)=e'$

$\phi(a^{-1})\cdot\phi(a)=\phi(a^{-1}*a)=\phi(e)=e'$

Exemples de grups

Grup simètric

Sigui X un conjunt qualsevol, i sigui $S_X$ el conjunt de les aplicacions bijectives de X en X. Llavors $(S_X,\circ)$ és un grup on $\circ$ és la composició d'aplicacions. L'element neutre n'és l'aplicació identitat, i la inversa d'una aplicació n'és l'invers en el grup. Aquest grup s'anomena grup simètric de X.

Si X és un conjunt finit de n elements llavors $S_X$ té $n!$ elements.

Si $(G,*)$ és un grup qualsevol, llavors $(S_G,\circ)$ té algun subgrup isomorf a $(G,*)$. En altres paraules, tot grup es pot veure com a subgrup d'algun grup simètric.

Subgrups

Direm que $G'$ és un subgrup de $G$ si $G'\subseteq G$ i $G'$ té estructura de grup amb l'operació binària * de $G$ (verifica les tres propietats de la definició de grup) i és tancat amb aquesta operació,

$\forall a,b\in G'\ \ a*b\in G'$

Si un grup és abelià aleshores els seus subgrups també ho són. A més tot grup conté un subgrup abelià. De fet el grup format per un sol element

$G_0=\{e\}$

sempre és un subgrup de qualsevol grup i és abelià.

Exemple de subgrup: Z(G)

Definim Z(G) (el centre de G) com:

$Z(G)=\{a\in G\ | \ \forall g\in G\ \ a*g=g*a\}$

L'objectiu és veure que $Z(G)$ és un subgrup de $G$.

Per una banda sabem que:

$Z(G)\subseteq G$

A més $Z(G)$ és tancat per l'operació * de $G$, perquè si $a,b\in Z(G)$ donat un $g\in G$ qualsevol tenim

$(a*b)*g=a*(b*g)=a*(g*b)=(a*g)*b=(g*a)*b=g*(a*b)$

Per tant $a*b\in Z(G)$

Per veure que $Z(G)$ té estructura de grup només cal veure que el neutre hi pertany (la qual cosa és certa per la primera propietat de grup i la definició de $Z(G)$) i que l'invers d'un element que hi pertanyi també hi pertany. Això és dir:

$a\in Z(G)\ \Rightarrow\ \ a^{-1}\in Z(G)$

però ho podem justificar perquè tenim les identitats:

$a^{-1}*g=a^{-1}*(g^{-1})^{-1}=(g^{-1}*a)^{-1}=(a*g^{-1})^{-1}=$

$=(g^{-1})^{-1}*a^{-1}=g*a^{-1}$

Per com està definit es clar que $Z(G)$ és un grup abelià.

Si $Z(G)=G$ llavors resulta que $G$ és un grup abelià. El recíproc també és cert.

Subgrups relacionats amb morfismes

Donat un morfisme de grups $\phi:G\rightarrow G'$ podem definir a $G$ i $G'$ els subgrups $\ker{\phi}\subseteq G$ i $\textrm{Im}\ \phi\subseteq G'$ de la següent manera:

$\ker{\phi}=\{x\in G\ |\ \phi(x)=e'\}$

$\textrm{Im}\ \phi =\phi(G) =\{y\in G'\ |\ \exists x\in G, \ y=\phi(x)\}$

A partir d'aquí es pot obtenir un resultat, conegut com el Primer Teorema d'Isomorfia:

$\frac{G}{\ker{\phi}}\cong\textrm{Im}\ \phi$

Categoria dels grups

La categoria Grp, anomenada categoria dels grups, té per objectes els grups i per morfismes els morfismes de grups. Els isomorfismes d'aquesta categoria coincideixen amb els isomorfismes de grups.

• Vegeu Teoria de categories.

Vegeu també

• Grup abelià
• Teoria de grups
• Introducció a la teoria de grups