Grup (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que detallem més endavant.

Molts objectes estudiats en matemàtiques tenen estructura de grup. Entre aquests trobem els nombres enters, els racionals, els reals i els complexos amb l'operació de la suma, així com els racionals, reals i complexos sense el zero amb l'operació del producte. També té estructura de grup el conjunt de les matrius quadrades no singulars amb el producte o el conjunt de les funcions invertibles amb la composició.

Definició de grup[modifica | modifica el codi]

Un grup és un conjunt G on hi ha definida una operació binària *:G\times G\rightarrow G amb les propietats següents:

Si a més G verifica la propietat addicional següent:

es diu que el grup (G,*) és un grup abelià o commutatiu Per indicar que un grup és abelià és comú notar l'operació binària pel símbol + en comptes de *.

Definició alternativa[modifica | modifica el codi]

Es pot donar una definició alternativa de grup, que té l'avantatge que no conté existencials. Un grup és un conjunt G on hi ha definides tres operacions, una binària anomenada producte, una unària anomenada invers, i una zero-ària anomenada element neutre, notades respectivament

  • (a,b)\mapsto a*b
  • a\mapsto a^{-1}
  • e \,

i que compleixen les propietats següents:

  • \forall a,b,c\in G\ \ a*(b*c)=(a*b)*c
  • \forall a\in G\ \ a*e=e*a=a
  • \forall a\in G\ \ a*a^{-1}=a^{-1}*a=e

Propietats bàsiques[modifica | modifica el codi]

De l'element e de la primera propietat se'n diu element neutre. Un grup només té un element neutre, perquè si suposem que té dos elements neutres e_1, e_2 aplicant dos cops la primera propietat tenim

e_1=e_1* e_2=e_2

De l'element b de la segona propietat se'n diu element invers de a. La segona propietat afirma que cada element del grup té almenys un invers. A més tot element té com a màxim un invers, perquè si a tingués dos elements inversos b_1, b_2 llavors tindriem

b_1=b_1*e=b_1*(a*b_2)=(b_1*a)*b_2=e*b_2=b_2

Com que l'element invers d'un element a de G és únic el notem a^{-1}. L'invers del neutre és el neutre. L'invers de l'invers d'un element és ell mateix. Amb la nostra notació:

(a^{-1})^{-1}=a

Si a,b\in G llavors (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1} perquè tenim

(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})=e
(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)=e

(posar altres propietats bàsiques)


Morfismes de grups[modifica | modifica el codi]

Siguin (G,*) i (G',\cdot) dos grups amb les seves respectives operacions. Hi ha moltes maneres d'assignar a cada element de (G,*) un element de (G',\cdot). De entre totes les maneres que hi ha de fer això

\phi:G\rightarrow G'

anomenarem morfismes de grups a aquelles que verifiquen un "bon comportament" respecte de les estructures de grup de cada grup. Concretament anomenarem morfismes de grups a totes les aplicacions \phi:G\rightarrow G' que verifiquen:

  • \forall x,y\in G\ \ \phi(x*y)= \phi(x)\cdot\phi(y)

Els morfismes de grups no són aplicacions massa alocades. La idea és arribar a definir amb precisió què significa que dos grups siguin equivalents tot i no ser la mateixa cosa conjuntísticament parlant.

Primera propietat senzilla: si e\in G i e'\in G' són els respectius elements neutres i \phi:G\rightarrow G' és morfisme llavors \phi(e)=e'. Vegem-ho:

e'=\phi(e)\cdot (\phi(e))^{-1}=\phi(e*e)\cdot (\phi(e))^{-1}=\phi(e)\cdot\phi(e)\cdot \phi(e)^{-1}
=\phi(e)\cdot e'=\phi(e)

Moltes vegades aquesta propietat s'imposa en la definició de morfisme, però ja es veu que no cal.

Segona propietat senzilla: si \phi:G\rightarrow G' és un morfisme de grups, llavors \phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}. Vegem-ho:

\phi(a)\cdot\phi(a^{-1})=\phi(a*a^{-1})=\phi(e)=e'
\phi(a^{-1})\cdot\phi(a)=\phi(a^{-1}*a)=\phi(e)=e'


Exemples de grups[modifica | modifica el codi]

Grup simètric[modifica | modifica el codi]

Sigui X un conjunt qualsevol, i sigui S_X el conjunt de les aplicacions bijectives de X en X. Llavors (S_X,\circ) és un grup on \circ és la composició d'aplicacions. L'element neutre n'és l'aplicació identitat, i la inversa d'una aplicació n'és l'invers en el grup. Aquest grup s'anomena grup simètric de X.

Si X és un conjunt finit de n elements llavors S_Xn! elements.

Si (G,*) és un grup qualsevol, llavors (S_G,\circ) té algun subgrup isomorf a (G,*). En altres paraules, tot grup es pot veure com a subgrup d'algun grup simètric.

Subgrups[modifica | modifica el codi]

Direm que G' és un subgrup de G si G'\subseteq G i G' té estructura de grup amb l'operació binària * de G (verifica les tres propietats de la definició de grup) i és tancat amb aquesta operació,

\forall a,b\in G'\ \ a*b\in G'

Si un grup és abelià aleshores els seus subgrups també ho són. A més tot grup conté un subgrup abelià. De fet el grup format per un sol element

G_0=\{e\}

sempre és un subgrup de qualsevol grup i és abelià.

Exemple de subgrup: Z(G)[modifica | modifica el codi]

Definim Z(G) (el centre de G) com:

Z(G)=\{a\in G\ | \ \forall g\in G\ \ a*g=g*a\}

L'objectiu és veure que Z(G) és un subgrup de G.

Per una banda sabem que:

Z(G)\subseteq G

A més Z(G) és tancat per l'operació * de G, perquè si a,b\in Z(G) donat un g\in G qualsevol tenim

(a*b)*g=a*(b*g)=a*(g*b)=(a*g)*b=(g*a)*b=g*(a*b)

Per tant a*b\in Z(G)

Per veure que Z(G) té estructura de grup només cal veure que el neutre hi pertany (la qual cosa és certa per la primera propietat de grup i la definició de Z(G)) i que l'invers d'un element que hi pertanyi també hi pertany. Això és dir:

a\in Z(G)\ \Rightarrow\ \ a^{-1}\in Z(G)

però ho podem justificar perquè tenim les identitats:

a^{-1}*g=a^{-1}*(g^{-1})^{-1}=(g^{-1}*a)^{-1}=(a*g^{-1})^{-1}=
=(g^{-1})^{-1}*a^{-1}=g*a^{-1}

Per com està definit és clar que Z(G) és un grup abelià.

Si Z(G)=G llavors resulta que G és un grup abelià. El recíproc també és cert.

Subgrups relacionats amb morfismes[modifica | modifica el codi]

Donat un morfisme de grups \phi:G\rightarrow G' podem definir a G i G' els subgrups \ker{\phi}\subseteq G i \textrm{Im}\ \phi\subseteq G' de la següent manera:

\ker{\phi}=\{x\in G\ |\ \phi(x)=e'\}
\textrm{Im}\ \phi =\phi(G) =\{y\in G'\ |\ \exists x\in G, \ y=\phi(x)\}

A partir d'aquí es pot obtenir un resultat, conegut com el Primer Teorema d'Isomorfia:

\frac{G}{\ker{\phi}}\cong\textrm{Im}\ \phi

Categoria dels grups[modifica | modifica el codi]

La categoria Grp, anomenada categoria dels grups, té per objectes els grups i per morfismes els morfismes de grups. Els isomorfismes d'aquesta categoria coincideixen amb els isomorfismes de grups.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]