Teoria de grups
De Viquipèdia
En aquest article es desenvoluparà un enfocament tècnic de la teoria de grups, per una introducció planera vegeu: Introducció a la teoria de grups
La teoria de grups dins la matemàtica estudia les propietats dels grups, i com classificar-los.
Un grup matemàtic és un magma ( un parell (G, * ) ), on G és un conjunt no buit i * una llei de composició interna, això és 
, verificant:
(
(
(En altres paraules un grup és un conjunt amb una operació binària associativa, tancada que té element neutre i inversos.
Un grup on es verifiqui a * b = b * a per a qualsevol parell d'elements a,b en G s'anomena abelià o commutatiu.
Exemples:
- (R,+) és un grup abelià. R és el conjunt dels nombres reals i + la suma usual.
- (R-{0},·) és grup abelià. (A remarcar que el zero no té invers multiplicatiu, per això se l'exclou).
- (Zn,+) és grup.
Un grup és finit o infinit si el conjunt és finit o infinit. En l'exemple citat, els formats amb R són infinits i el format amb Zn és finit.
Els grups són els blocs per construir estructures algebraiques més elaborades tals com anells, camps i espais vectorials, i són recurrents a les matemàtiques. La teoria de grups té moltes aplicacions en química i física i és potencialment aplicable a qualsevol problema caracteritzat per la seva simetria.
L'ordre d'un grup és la cardinalitat de G; els grups poden ser d'ordre finit o infinit. La classificació dels grups simples finits és un dels grans avenços matemàtics del segle XX.
