Conjunt de Mandelbrot

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
El conjunt de Mandelbrot.
La naturalesa fractal del conjunt de Mandelbrot es manifesta en ser ampliat indefinidament.

En matemàtiques, es defineix el conjunt de Mandelbrot M com el lloc geomètric de connexitat de la família uniparamètrica de polinomis quadràtics següent:

\{f_c\colon\mathbb C\,\to\,\mathbb C\,\,|\,\,f_c(z)\,:=\,z^2+c\}_{c\,\in\,\mathbb C}.

És a dir, M és el subconjunt de punts c del pla complex per als quals el conjunt de Julia de f_c és connex.

El conjunt de Julia d'un polinomi és connex si i només si tots els seus punts crítics tenen òrbita fitada. Així, una manera equivalent de definir el conjunt de Mandelbrot és com el conjunt de paràmetres c\,\in\,\mathbb C tals que l'origen 0 no tendeix a infinit sota la iteració de f_c:

M\,:=\,\{c\,\in\,\mathbb C\,\,|\,\,f_c^n(0)\,\nrightarrow\,\infty quan n\,\to\,\infty\}.

Més enllà del seu interès matemàtic, aquest i d'altres conjunts derivats de l'estudi de sistemes dinàmics en variable complexa han esdevingut populars—per raons estètiques—gràcies al boom fractal ocorregut durant els darrers anys del segle XX i primers del segle XXI, ja que els ordinadors permeten dibuixar estructures (fractals) complicadíssimes a partir d'una senzilla fórmula matemàtica. En aquest sentit, cal esmentar els esforços de Benoît Mandelbrot, entre d'altres, per fer conèixer aquest camp de les matemàtiques al gran públic.

Història[modifica | modifica el codi]

El conjunt de Mandelbrot és avui dia un dels principals objectes d'estudi de la dinàmica complexa. Aquesta branca de les matemàtiques neix cap a finals del segle XIX amb els articles d'Ernst Schröder i Arthur Cayley sobre el mètode de Newton i d'altres algorismes per trobar arrels funcions (complexos), encara que no és fins al tombant de segle que Pierre Fatou i Gaston Julia impulsaran considerablement el camp amb estudis de funcions més generals.

La primera aproximació al conjunt de Mandelbrot de Brooks i Matelski

Les primeres imatges del conjunt de Mandelbrot daten del 1978 i aparegueren en un article de Robert Brooks i Peter Matelski sobre grups de Klein.[1] Posteriorment, Mandelbrot estudià l'espai de paràmetres de la família de funcions logístiques \{\lambda z(1-z)\}_{\lambda\in\mathbb C} en el seu article de 1980.[2] No fou fins al 1982, no obstant, que els matemàtics Adrien Douady i John H. Hubbard començaren un estudi matemàtic rigorós del conjunt de Mandelbrot, tot establint-ne moltes de les propietats fonamentals que es coneixen actualment. Aquest estudi fou recollit en el que es coneix popularment com les Orsay Notes,[3] una de les obres cabdals del tàndem Douady-Hubbard, que paradoxalment no es va arribar a publicar mai. També foren ells que per primera vegada utilitzaren la forma canònica z^2+c i que anomenaren el conjunt en honor a Mandelbrot, en desconèixer l'article de Brooks i Matelski.

El treball de Douady i Hubbard coincidí amb un gran creixement de l'interès per la dinàmica complexa, i l'estudi del conjunt de Mandelbrot ha estat des d'aleshores un dels objectes principals d'aquest camp. Seria fútil intentar fer una llista de tots els matemàtics que han contribuït al coneixement d'aquest conjunt, però tal llista inclouria sens dubte Mikhail Lyubich, Curtis McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura i Jean-Christophe Yoccoz.

Imatges fetes amb ordinadors digitals[modifica | modifica el codi]

Fins que no van aparèixer els primers ordinadors digitals no es va poder veure aquest fractal Z = Z2 + C en tota la seva complexitat.

En la sèrie que es detalla a sota es pot veure com millora la definició del fractal a mesura que augmentem el nombre d'iteracions. El punts que convergeixen després de N iteracions pertanyen al conjunt de Mandelbrot, i estan dibuixats de color groc pàl·lid. Els punts que escapen al infinit estàn dibuixats amb una escala cromàtica que va del negre al gris, en funció del nombre d'iteracions necessàries. Quantes menys iteracions es necesiten, més negre.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Robert Brooks, Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), en "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra i Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65-71 ISBN 0-691-08264-2
  2. Benoit Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of z\mapsto\lambda z(1-z)\, for complex \lambda,z\,, Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259
  3. Adrien Douady, John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexos, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/ 1985)

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Conjunt de Mandelbrot