Punt crític (matemàtiques)

Punts estacionaris (creus vermelles) i punts d'inflexió (cercles verds). És important notar que els punts estacionaris són punts crítics, però els punts d'inflexió no ho són.

En càlcul, uns punt crític d'una funció d'una variable real és qualsevol valor en el domini on la funció no és diferenciable o quan el seu derivada és 0. El valor de la funció en el punt crític és un valor crític de la funció. Aquestes definicions admeten generalitzacions a funcions de diverses variables, mapes diferenciables entre R ^m i R ⁿ , i mapes diferenciables entre varietats diferenciables.

Definició per a funcions d'una sola variable

Un punt crític d'una funció d'una sola variable real, ƒ ( x ), és un valor x ₀ dins el domini de ƒ on la funció no és diferenciable, o bé, la seva derivada és 0, ƒ ^' ( x ₀ ) = 0. Qualsevol valor al codomini de ƒ que sigui la imatge d'un punt crític baix ƒ és un valor crític de ƒ . Aquests conceptes poden ser visualitzats mitjançant la gràfica de ƒ : en un punt crític, la gràfica no admet una tangent, o bé, la tangent és una línia vertical o horitzontal. En l'últim cas, la derivada és zero i el punt és anomenat un punt estacionari de la funció.

Optimització

Pel teorema de Fermat, els màxims i mínims locals d'una funció poden ocórrer únicament en els seus punts crítics. No obstant això, no tot punt estacionari és un màxim o mínim de la funció; pot correspondre també a un punt d'inflexió de la gràfica, com per ƒ ( x ) = x ³ en x = 0, o la gràfica pot oscil·lar en el veïnatge del punt, com en el cas de la funció definida per la fórmula ƒ ( x ) = x ² sin (1/ x ) per x ≠ 0 i ƒ (0) = 0, al punt x = 0.

Exemples

• La funció ƒ ( x ) = x ² +2 x +3 és diferenciable en tot lloc, amb la derivada ƒ ^' ( x ) = 2 x +2. Aquesta funció té un únic punt crític -1, ja que és l'únic nombre x ₀ per al qual 2 x ₀ +2 = 0. Aquest punt és un mínim global de ƒ . El corresponent valor crític és ƒ (-1) = 2. La gràfica de ƒ és una paràbola còncava cap amunt, el punt crític és l'abscissa del vèrtex, on la línia tangent és horitzontal, i el valor crític és l'ordenada del vèrtex i pot ser representat per la intersecció d'aquesta línia tangent i l'eix i .

• La funció f ( x ) = x ^2/3 està definida per a tota x i és diferenciable per x ≠ 0, amb la derivada ƒ ^' ( x ) = 2 x ^-1/3 /3. Com que ƒ ^' ( x ) ≠ 0 per x ≠ 0, l'únic punt crític de ƒ és x = 0. La gràfica de la funció ƒ té una cúspide en aquest punt amb una tangent vertical. El corresponent valor crític és ƒ (0) = 0.

• La funció ƒ ( x ) = x ³ - 3 x +1 és diferenciable a tot arreu, amb la derivada ƒ ^' ( x ) = 3 x ² - 3. Té dos punts crítics, en x = -1 i x = 1. Els corresponents valors crítics són ƒ (-1) = 3, que és un valor màxim local, i ƒ (1) = -1, que és un valor mínim local de ƒ . Aquesta funció no té màxim o mínim global. Com que ƒ (2) = 3, s'observa que un valor crític pot també ser assolit en un punt no crític. Geomètricament, això significa que una línia tangent horitzontal a la gràfica en un punt ( x = -1) pot interseca la gràfica en un angle agut en un altre punt ( x = 2).

Funcions de diverses variables

En aquesta secció, s'assumirà que les funcions són suaus.

Per a una funció suau de diverses variables reals, la condició de ser un punt crític és equivalent a que totes les seves derivades parcials siguin zero; per a una funció en una varietat, és equivalent a que el seu diferencial sigui zero.

Si la matriu hessiana en un punt crític és no singular llavors el punt crític és anomenat no degenerat , i el signe dels autovalors del Hessiana determinen el comportament local de la funció . En el cas d'una funció real d'una variable real, el Hessiana és simplement la segona derivada, i la no singularitat és equivalent a ser diferent de zero. Un punt crític no degenerat d'una funció real d'una variable és un màxim si la segona derivada és negativa, i un mínim si és positiva. Per a una funció de n variables, el nombre d'autovalors negatius d'un punt crític és anomenat el seu índex , i un màxim ocorre quan tots els autovalors són negatius (índex n , la matriu hessiana és definida negativa) i un mínim ocorre quan tots els autovalors són positius (índex zero, la matriu hessiana és definida positiva), en tots els altres casos, el punt crític pot ser un màxim, un mínim o un punt de sella (índex estrictament entre 0 i n , la matriu hessiana és indefinida). La Teoria de Morse aplica aquestes idees a la determinació de la topologia de varietats, tant de dimensió finita o infinita.

Camp vectorial gradient

A la presència d'una mètrica Riemanniana o una forma simpléctica, a cada funció suau li és associada un camp vectorial (el gradient o camp vectorial Hamiltonià). Aquests camps vectorials desapareixen exactament en els punts crítics de la funció original, i així els punts crítics són estacionaris, és a dir, les trajectòries constants del flux associat al camp vectorial.

Definició per a mapes

Per a un mapa diferenciable f entre R ^m i R ⁿ , els punts crítics són els punts on el diferencial de f és una aplicació lineal de rang menor que n , en particular, cada punt és crític si m <n. Aquesta definició immediatament s'estén a mapes entre varietats suaus. La imatge d'un punt crític baix f s'anomena un valor crític . Un punt en el complement del conjunt de valors crítics és cridat un valor regular . El teorema de Sard diu que el conjunt de valors crítics d'un mapa suau té mesura zero.

Vegeu també

• Extrems d'una funció
• Punt estacionari
• Singularitat matemàtica