Espai compacte

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En topologia, un subconjunt  K d'un espai topològic  X es diu compacte si tot recobriment obert seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot \{U_i\}_{i\in I} tal que  U_i són tots oberts i \cup_{i\in I}U_i\supset K , hi ha  F\subset I finit tal que \cup_{i\in F}U_i\supset K .

Notar que, en particular,  K podria ser  X . En aquest cas es parla d'un espai compacte . Es verifica llavors que  K\subset X és compacte si i només si és un espai compacte per a la topologia traça.

El teorema de Heine-Borel estableix que els subconjunts compactes de \mathbb{R}^n són els conjunts tancats i acotat s.

Un resultat important diu que  K és compacte si i només si tota xarxa continguda en  K té un punt d'acumulació.

Algunes Propietats[modifica | modifica el codi]

Es compleix que si  X és varietat afí, aleshores  K és connex per camins. Es compleix a més que tot subconjunt acotat d'un precompacto serà també paracompacto.

Compacitat en Espais Mètric[modifica | modifica el codi]

Si s'ha de  (X, d) és un espai mètric, llavors, per  K\subset X , les següents proposicions són totes equivalents:

  1.  K és compacte
  2.  K és seqüencialment compacte
  3.  K és complet i totalment tancat

A més, s'ha de  K serà sempre tancat i acotat.

El teorema de Heine-Borel dóna una caracterització útil en els espais vectorials normats de dimensió finita:  K és compacte si i només si és tancat i fitat. No obstant això, en dimensió infinita, això no és veritat, i, de fet, en aquest context la bola unitària tancada mai serà compacta, pel mateix[Aclariment necessari], és molt més difícil verificar compacitat. Un resultat important en els espais de funcions contínues és el teorema de Arzelá-Ascoli.

Importància dels Conjunts Compactes[modifica | modifica el codi]

Els conjunts compactes tenen gran importància en diversos resultats de l'anàlisi, sent un dels més importants el teorema de Weierstrass: tota funció real contínua definida en un espai compacte assoleix el seu màxim i el mínim.

Un altre resultat important és el teorema de Heine, que indica que tota funció contínua el domini sigui un conjunt compacte, serà uniformement contínua.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]