Teorema de Heine-Borel

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el teorema de Heine-Borel també anomenat teorema de Borel-Lebesgue estableix que un subconjunt de \mathbb{R}^n és tancat i acotat si i només si és compacte, és a dir si tot recobriment admet un subrecobriment finit. El cas particular del teorema aplicat a la recta real s'anomena sempre Teorema de Heine-Borel, mentre que fora d'aquest cas rep de vegades, el nom de Teorema de Borel-Lebesgue.

Les formulacions principals d'aquest teorema es deuen als matemàtics Heinrich Eduard Heine, Émile Borel i Henri Léon Lebesgue.

Teoremes Preliminars[modifica | modifica el codi]

Els subconjunts tancats de conjunts compactes són compactes

Sigui F un conjunt tancat i K un conjunt compacte tals que F\subset K\subset\mathbb{R}^n .

Sigui \{G_a\} un recobriment per oberts de F, llavors \{G_a\}\cup\{F^c\} és un recobriment per oberts de K (podem afegir  F^c ja que és obert). Com que K és compacte llavors \{G_a, F^c\} té un refinament finit que també recobreix F. Podem treure  F^c i segueix recobrint F. Així obtenim un refinament finit de qualsevol recobriment per oberts de F

Si  E\subset K\subset\mathbb{R}^n , on E és un conjunt infinit i K és compacte, llavors E té un punt d'acumulació en K

Si E no tingués punts d'acumulació en K llavors \forall a\in K\exists B_{\varepsilon}(a) = a on  B_{\varepsilon} és un entorn de radi ε > 0. És clar que el conjunt d'aquests entorns forma un recobriment de E però no té un refinament finit, el mateix compliria per K que contradiria la hipòtesi que K és compacte.

Tota k-cel·la és compacta

Sigui I una k-cel·la que consisteix de tots els punts x = (x1, x2, ..., xk) tal que  a\leq x_j\leq b i  j \in \{ 1,2 ,..., k \}. Sigui \delta = (\sum (b_j - a_j)^2)^{1/2} llavors si  x, y\in I , |xy|<\delta . Sigui \{G_a\} un recobriment arbitrari de I i suposem que I no es pot recobrir amb una família finita dels  G_a .

Prenem  c_s =\frac{a_s+b_s}{2} llavors els intervals  [a_s, c_s]; [c_s, b_s] determinen 2k cel·les Qi amb i\in\{ 1,2 ,..., 2^k \}. Llavors com a mínim un Qi no es pot recobrir amb una quantitat finita de  G_a . L'anomenarem I1 i així obtenim una successió In tal que:

  1.  I_1\supset I_2\supset I_3\supset ....
  2.  I_n no es pot recobrir amb una quantitat finita dels  G_a .
  3. Si  x, y\in I_n llavors |xy|<2^{-n}\delta .
  4. \bigcap_n I_n\neq\emptyset

Diguem que  h\in\bigcap_n I_n ; com \bigcup_a G_a recobreix I llavors  h\in G_b\subset\bigcup_a G_a . Com que Gb és obert existeix un  B_{\varepsilon}(h)\subset G_b . Si prenem n prou gran tal que  2^{-n}\delta <\varepsilon tenim que aquest  I_n\subset B_{\varepsilon}(h)\subset G_b el que contradiu la suposició que no es pot recobrir amb una quantitat finita dels  G_a .

Demostració del teorema de Heine-Borel[modifica | modifica el codi]

Enunciat: Si un conjunt  E\subset\mathbb{C}^n té algunes de les propietats, aleshores també té les altres dues (és a dir, són totes equivalents):

  1. E és tancat i connex.
  2. E és acotat.
  3. Tot subconjunt infinit de E té un punt d'acumulació a la frontera de E.

Demostració: Si compleix 1) llavors  E\subset I per a alguna k-cel·la  I , i 1) implicaria 2) per els teoremes 1 i 3 anteriors.

Si es compleix 2), llavors es compleix 3) pel teorema 2 anterior.

Ara falta demostrar que si compleix 3), aleshores compleix 1): Si E no és connex aleshores conté un conjunt { x_n } tal que |x_n|> n , llavors el subconjunt  {x_n} és finit i té un límit en \mathbb{R}^n , la qual cosa contradiu 3). Si E no és obert llavors hi ha un element x_0\in\mathbb{R}^n que és un punt d'acumulació de E però no és a E. Per a  n = 1,2 ,... hi ha  x_n\in E tals que |x_n - x_0|<1/n , llavors el conjunt { x_n } és infinit i té límit contingut en ell mateix, la qual cosa contradiu 3). Q.E.D.)

Vegeu també[modifica | modifica el codi]