Espai funcional

En matemàtiques, un espai funcional és un conjunt d'aplicacions d'una certa forma d'un conjunt $X$ en un conjunt $Y$. S'anomena espai perquè segons els casos pot ser un espai topològic o un espai vectorial o els dos. Els espais funcionals apareixen en diferents àmbits de les matemàtiques:

• En teoria de conjunts, el conjunt de les parts d'un conjunt $X$ es pot identificar amb el conjunt de les funcions de $X$ amb valors en $\{0, 1\}$; notat $\{0,1\}^X$. Més generalment, el conjunt de les aplicacions $X\rightarrow Y$ es nota $Y^X$;

• en àlgebra lineal el conjunt de les aplicacions lineals d'un espai vectorial $E$ cap a un altre $F$ sobre un mateix cos commutatiu és ell mateix un espai vectorial;

• En anàlisi funcional, també es poden trobar espais funcionals amb les aplicacions lineals continues, proveïts de topologies, els exemples principals són els espais de funcions numèriques proveïts d'una topologia; els exemples més coneguts són els espais hilbertians i els espais de Banach.

• en anàlisi funcional, el conjunt de les aplicacions del conjunt dels naturals en un conjunt qualsevol $X$ s'anomena espai seqüencial. Està format pel conjunt de les successions d'elements de $X$;

• en topologia, es pot intentar construir una topologia sobre l'espai de les funcions continues d'un espai topològic $X$ en un altre $Y$, la utilitat del qual depèn de la naturalesa dels espais. Una topologia utilitzada habitualment és la de compacte-obert. Un altre topologia possible és la topologia producte sobre l'espai de les funcions (no necessàriament continues) $Y^X$. En aquest context, aquesta topologia també es designa amb el nom de topologia de la convergència simple;

• En topologia algebraica, l'estudi de la teoria de l'homotopia descansa essencialment en l'estudi dels invariants discrets dels espais de funcions;

• en la teoria dels processos estocàstics, el problema tècnic de base és com construir una mesura de probabilitat sobre un espai de funcions constituït per camins de procés (funcions del temps);

• en la teoria de categories un espai funcional s'anomena un objecte exponencial. Apareix d'una certa manera com la representació del bifunctor canònic; però en tant que functor (senzill), del tipus [X, -], apareix com a functor adjunt a un functor de tipus (-×X ) sobre objectes;
• en lambda-càlcul i en programació funcional, els tipus d'espais de funcions es fan servir per expressar la idea de funció d'ordre superior;

• en la teoria dels dominis, la idea fonamental és de trobar construccions a partir d'ordres parcials que poden modélitsar el lambda-càlcul, creant una categoria cartesiana tancada.

Llista d'espais funcionals

Anàlisi funcional

Espais generals

• Els espais localment convexos: espais vectorials amb una família de seminormes (o el que és equivalent que posseeixen una base local de conjunts convexos).

• els espai de Fréchet: un espai vectorial amb una família numerable de seminormes (o el que és equivalent proveït d'una distància invariant per translació).

• els espais de Banach: espais vectorials amb una família finita de seminormes (o el que és equivalent amb una simple norma).

• els Espais de Hilbert: espais vectorials proveïts de producte escalar.

Espais particulars

• Espai de Schwartz de les funcions indefinidament derivables amb convergència ràpida i el seu espai dual;
• espai lp
• $\mathcal{K}(\mathbb{R})$ espai de les funcions continues amb suport compacte proveït de la norma de la convergència uniforme;
• $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ espai de les funcions continues fitades (funció fitada);
• $\mathcal{C}_{\infty}(\mathbb{R})$ conjunt de les funcions que tendeixen cap a zero a l'infinit;
• $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$ espai de les funcions indefinidament derivables;
• $\mathcal{C}^{\infty}_0$ espai de les funcions indefinidament derivables amb suport compacte proveït de la norma uniforme;
• $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ espai de les funcions amb suport compacte proveït de la topologia límit inductiva;
• $W^{k,p}\,$ Espaia de sobolev;
• $\mathcal{O}_U$ espai de les funcions holomorphes;
• Aplicació lineals;
• aplicacions lineals a trossos;
• espai de les funcions continues proveït de la topologia compacte-obert;
• espai de les funcions proveït de la topologia de la convergència simple;
• Espais de Hardy
• Espai de Hölder

Vegeu també

• Espai seqüencial