Mòdul lliure

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.

Posem això en una notació adequada: si M\, i N \, són espais vectorials i \mathcal{B} és una base de M, una aplicació j: \mathcal{B} \longrightarrow N \, informa quant a quina és la imatge de cada element de la base \mathcal{B} de M i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme f: M \longrightarrow N \, de manera que si i: \mathcal{B} \longrightarrow M \, és la injecció natural, el següent diagrama

Diagrama

és commutatiu. La definició del A-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.

Definició[modifica | modifica el codi]

Siguin A un anell commutatiu amb unitat i S un conjunt. El A-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors S, denotat F_{S}, és l'únic A-mòdul proveït d'una aplicació i: S \longrightarrow F_{S} que compleix que, per qualsevol altre A-mòdul M i qualsevol aplicació f: S \longrightarrow M, hi ha un únic homomorfisme de mòduls, \tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M que fa que el següent diagrama

Mòdul lliure

sigui commutatiu, això és, que f = \tilde{f} \circ i \,.

Unicitat[modifica | modifica el codi]

Comencem per veure que, si h: F_{S} \longrightarrow F_{S} \, és un homomorfisme de mòduls que fa h \circ i = i \,, aleshores h és la identitat. En efecte, en el diagrama de la dreta

Unicitat

la commutativitat és òbvia i la unicitat establerta per la definició per a \tilde{i} = h \, del diagrama de l'esquerra obliga a que \tilde{i} = h = \mbox{Id}_{F_{S}} \,.

Sigui ara \left(F'_{S}, i'\right) \, un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors S. Tenim els següents diagrames commutatius:

Unicitat

o sigui,

i' = \tilde{i'} \circ i \,, \qquad i = \tilde{i} \circ i' \,

que, per substitució, dóna

i' = \tilde{i'} \circ \tilde{i} \circ i' = (\tilde{i'} \circ \tilde{i}) \circ i'\,, \qquad i = \tilde{i} \circ \tilde{i'} \circ i = (\tilde{i} \circ \tilde{i'}) \circ i \,

Ara bé, segons l'observació inicial, ha de ser

\tilde{i'} \circ \tilde{i} = \mbox{Id}_{F'_{S}} \,,\qquad \tilde{i} \circ \tilde{i'} = \mbox{Id}_{F_{S}} \,

i, per tant, \tilde{i} i \tilde{i'} són inverses l'una de l'altra i, en conseqüència, els dos mòduls lliures, F_{S} i F'_{S} són isomorfs. A més, per la condició d'unicitat, no hi ha cap altre isomorfisme que respecti les aplicacions i i i': tenim, doncs, que aquest isomorfisme és únic.

Generadors. Bases[modifica | modifica el codi]

El conjunt i(S) \, genera el mòdul lliure F_{S}, això és, qualsevol submòdul M \subset F_{S} \, que contingui i(S) \, és exactament igual a F_{S}. A més, el conjunt i(S) \, és lliure, és a dir, els seus elements són linealment independents.

Per veure-ho, considerem les aplicacions


\begin{matrix}
f: S \longrightarrow F_{S}/M &\\
f(s) = 0 \,,& \forall s \in S
\end{matrix}
\qquad\qquad
\begin{matrix}
\zeta: F_{S} \longrightarrow F_{S}/M &\\
\zeta(\varphi) = 0 \,, & \forall \varphi \in F_{S}
\end{matrix}
\,

i la projecció canònica \pi: F_{S} \longrightarrow F_{S}/M \,. Aleshores, els dos diagrames

Generadors

són òbviament commutatius i, de la unicitat, en resulta \pi = \zeta \,, és a dir, que la projecció canònica és nul·la i, per tant, que M = F_{S} \,.

La independència lineal dels elements de i(S) \, es pot establir així: per a un element determinat s_{0} \in S \,, considerem l'aplicació


f: S \longrightarrow A 
\,


f(s) =
\begin{cases}
0 \,, \mbox{ si } s \neq s_{0} \\
1 \,, \mbox{ si } s = s_{0} \\
\end{cases}
\,

En considerar l'anell A \, com a A-mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure \tilde{f}: F_{S} \longrightarrow A \, que fa f = \tilde{f} \circ i \,. Prenem ara qualsevol suma finita


\sum_{s \in S} a_{s} i(s) = 0

Tenim:


0 = \tilde{f}(0) = \tilde{f}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f}\left(i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} f(s) = a_{s_{0}} f\left(s_{0}\right) = a_{s_{0}}

i, com que això s'esdevé per qualsevol índex s_{0} \in S \,, resulta que a_{s} = 0 \,, \forall s \in S i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, i(S) \, és una base del mòdul lliure F_{S}.

Inversament, tot A-mòdul M \, proveït d'una base \mathcal{B} \,, és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació


i: \mathcal{B} \longrightarrow M


i(b) = b

i ara, si N \, és un altre A-mòdul i f: \mathcal{B} \longrightarrow N \, és una aplicació qualsevol de \mathcal{B} a N, l'aplicació


\tilde{f}: M \longrightarrow M


\tilde{f}(\varphi) = \tilde{f}\left(\sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} b \right) = \sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} f(b)

és, trivialment, un homomorfisme de M \, a N \, i el següent diagrama

Bases

és commutatiu.

En particular, si l'anell A és un cos, aleshores M és un espai vectorial sobre A i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.

En realitat, allò que descriu aquest apartat és que un homomorfisme entre A-mòduls, el domini del qual és lliure, queda determinat per les imatges dels elements d'una base qualsevol del domini.

A-mòduls lliures de generació finita[modifica | modifica el codi]

Si S \, és un conjunt finit, el A-mòdul lliure F_{S} \, es diu de generació finita o finitament generat. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt S, de n elements, pel conjunt finit


\left\{1, 2, \ldots, n\right\}
\,

Aleshores, F_{S} \, se sol denotar per A^{n} \,, tot expressant que el mòdul lliure sobre el conjunt \left\{1, 2, \ldots, n\right\} no és altra cosa que el producte directe de n \, exemplars de l'anell A \,, els elements en són n-tuples d'elements de l'anell, amb la suma de n-tuples i la multiplicació per elements de l'anell en la forma usual.

Matrius[modifica | modifica el codi]

Si A^{n} \, és l'A-mòdul lliure amb generadors \left\{1, 2, \ldots, n\right\}, i A^{m} \, és un altre mòdul lliure, una aplicació f: \left\{1, 2, \ldots, n\right\} \longrightarrow A^{m} determina un únic homomorfisme \tilde{f}: A^{n} \longrightarrow A^{m} \, entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació f \, se sol fer mitjançant una matriu de m \, files i n \, columnes,


\begin{pmatrix}
a_{i,j}
\end{pmatrix}
\,,\quad
i = 1, \ldots, m
\,,\quad
j = 1, \ldots, n
\,

d'elements de l'anell A de manera que la columna j conté l'expressió de f(j) \in A^{m} en alguna base d'aquest últim mòdul. La matriu, doncs, determina l'homomorfime \tilde{f} \, de manera unívoca.

En conseqüència, l'àlgebra de les matrius m \times n \, d'elements de l'anell A és isomorfa a l'àlgebra dels homomorfismes de A^{n} a A^{m}.

Existència[modifica | modifica el codi]

Construirem ara efectivament el A-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors S. El conjunt F_{s} és el conjunt de totes les funcions \varphi: S \longrightarrow A \, que prenen el valor 0 \in A \, excepte en un nombre finit d'elements de S. Clarament, les operacions

\left(\varphi + \psi\right)(s) = \varphi(s) + \psi(s)
\,,\qquad
\left(a \varphi\right)(s) = a \left(\varphi(s)\right) 
\,,\qquad
\varphi, \psi \in F_{S}
\,,\quad
s \in S
\,,\quad
a \in A
\,

fan de F_{s} un A-mòdul.

Però l'aplicació i: S \longrightarrow F_{S} definida per


i(s)(t) =
\begin{cases}
0 \,, \mbox{ si } s \neq t \\
1 \,, \mbox{ si } s = t \\
\end{cases}
\qquad
s, t \in S
\,

fa de F_{s} el A-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors S. En efecte, sigui f: S \longrightarrow M \, una aplicació del conjunt S \, sobre un cert A-mòdul M \,. L'aplicació


\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M
\,


\tilde{f}(\varphi) = \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s)

és un morfisme d'A-mòduls perquè


\tilde{f}(\varphi + \psi) = \sum_{s \in S} \left(\varphi + \psi\right)(s) f(s) = \sum_{s \in S} \left(\varphi(s) + \psi(s)\right) f(s) = \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) + \sum_{s \in S} \psi(s) f(s) = \tilde{f}(\varphi) + \tilde{f}(\psi)


\tilde{f}(a \varphi) = \sum_{s \in S} \left(a \varphi(s)\right) f(s) = \sum_{s \in S} a \varphi(s) f(s) = a \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) = a \tilde{f}(\varphi)

i, si \tilde{f'}: F_{S} \longleftrightarrow M \, és un altre morfisme que fa \tilde{f'} \circ i = f \,, aleshores, per a \varphi \in F_{S} \,, com que i(S) \, genera F_{S},


\varphi = \sum_{s \in S} a_{s} i(s)

i


\tilde{f'}\left(\varphi\right) = \tilde{f'}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f'}(i(s)) =  \sum_{s \in S} a_{s} f(s) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f}(i(s)) = \tilde{f}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \tilde{f}\left(\varphi\right)

i, per tant, \tilde{f'} = \tilde{f} \,. En conseqüència, el A-mòdul F_{S} \, així construït és el A-mòdul lliure generat pel conjunt S.

Referències[modifica | modifica el codi]