Independència lineal

Sigui S un subconjunt no buit d'un mòdul M sobre un anell K. Hom diu que els elements del conjunt S són linealment independents i el conjunt és lliure o linealment independent, si qualsevol combinació lineal finita d'elements de S de resultat zero és trivial, és a dir, si

$\sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad I \subseteq \mathbb{N},\quad \lambda_{i} \in K,\quad s_{i} \in S$

implica que

$\lambda_{i} = 0,\quad \forall i \in I$

Si els elements de S no són linealment independents, hom diu que són linealment dependents i el conjunt S es diu lligat o linealment dependent.

Propietats

• Tot subconjunt d'un conjunt lliure és lliure.
• Tot conjunt que contingui un conjunt lligat és lligat.
• Si el conjunt S conté el zero del mòdul, aleshores és lligat. En efecte, encara que l'element de l'anell $\lambda \in K$ no sigui zero, el producte $\lambda 0$ torna a ser el zero del mòdul i pot estar en qualsevol combinació lineal d'elements de S sense alterar-ne el valor.
• Si un dels elements del conjunt S és combinació lineal finita dels altres, aleshores S és un conjunt lligat. En efecte, si

  $s = \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i},\quad I \subseteq \mathbb{N},\quad \lambda_{i} \in K,\quad s, s_{i} \in S$

podem posar

$1s - \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad I \subseteq \mathbb{N},\quad \lambda_{i} \in K,\quad s, s_{i} \in S$

i el conjunt S és lligat. La propietat recíproca, però, no és en general certa, si no és que K és un cos.

Independència lineal en espais vectorials

Si K és un cos, aleshores M és un espai vectorial sobre K i la independència lineal de conjunts vectors implica més coses que en el cas més general dels mòduls:

• Si S és un conjunt lligat, és a dir que els seus elements són linealment dependents és aquí equivalent a que almenys un dels seus elements sigui combinació lineal dels altres. En efecte, si S és lligat, hi ha alguna combinació lineal

  $\sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0$

amb no tots els escalars $\lambda_i$ nuls. Posem, sense perdre generalitat, que $\lambda_1 \neq 0$. Tenim:

$\lambda_{1} s_{1} + \sum_{i \in I\backslash\{1\}} \lambda_{i} s_{i} = 0$

i, per tant,

$s_{1} = \sum_{i \in I\backslash\{1\}} -\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{1}} s_{i}$

• Si $n \in \mathbb{N}$ és la dimensió (finita) de l'espai M, qualsevol conjunt de n vectors linealment independents n'és una base.
• Si n és la dimensió finita de l'espai M, no pot haver-hi conjunts de més de n vectors linealment independents.

Aquestes dues últimes afirmacions són una conseqüència immediata del teorema de substitució de Steinitz.

Exemple

Considerem el ℤ-mòdul lliure $\mathbb{Z}^2$ i els seus elements

$a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}, c = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}.$

Com que tenim la combinació lineal 3a + 3b − 2c = 0 els elements a, b i c són linealment dependents. Però cap d'ells és combinació lineal dels altres dos. En efecte, cadascuna de les expressions

$a = \lambda_{1} b + \mu_{1} c,\quad b = \lambda_{2} a + \mu_{2} c,\quad c = \lambda_{3} a + \mu_{3} b$

implica respectivament les igualtats

$2 = 3 \mu_{1},\quad 2 = 3 \mu_{2},\quad 3 = 2 \lambda_{3} \text{ i } 3 = 2 \mu_{3}$

que són impossibles de resoldre amb els $\lambda_i, \mu_j$ dins dels nombres enters.