Independència lineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca


Sigui S un subconjunt no buit d'un mòdul M sobre un anell K. Hom diu que els elements del conjunt S són linealment independents i el conjunt és lliure o linealment independent, si qualsevol combinació lineal finita d'elements de S de resultat zero és trivial, és a dir, si

 \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad
I \subseteq \mathbb{N},\quad
\lambda_{i} \in K,\quad
s_{i} \in S

implica que


\lambda_{i} = 0,\quad \forall i \in I

Si els elements de S no són linealment independents, hom diu que són linealment dependents i el conjunt S es diu lligat o linealment dependent.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • Tot subconjunt d'un conjunt lliure és lliure.
  • Tot conjunt que contingui un conjunt lligat és lligat.
  • Si el conjunt S conté el zero del mòdul, aleshores és lligat. En efecte, encara que l'element de l'anell \lambda \in K no sigui zero, el producte \lambda 0 torna a ser el zero del mòdul i pot estar en qualsevol combinació lineal d'elements de S sense alterar-ne el valor.
  • Si un dels elements del conjunt S és combinació lineal finita dels altres, aleshores S és un conjunt lligat. En efecte, si
    s = \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i},\quad
I \subseteq \mathbb{N},\quad
\lambda_{i} \in K,\quad
s, s_{i} \in S
podem posar
1s - \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad
I \subseteq \mathbb{N},\quad
\lambda_{i} \in K,\quad
s, s_{i} \in S
i el conjunt S és lligat. La propietat recíproca, però, no és en general certa, si no és que K és un cos.

Independència lineal en espais vectorials[modifica | modifica el codi]

Si K és un cos, aleshores M és un espai vectorial sobre K i la independència lineal de conjunts vectors implica més coses que en el cas més general dels mòduls:

  • Si S és un conjunt lligat, és a dir que els seus elements són linealment dependents és aquí equivalent a que almenys un dels seus elements sigui combinació lineal dels altres. En efecte, si S és lligat, hi ha alguna combinació lineal
    \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0
amb no tots els escalars \lambda_i nuls. Posem, sense perdre generalitat, que \lambda_1 \neq 0. Tenim:
\lambda_{1} s_{1} + \sum_{i \in I\backslash\{1\}} \lambda_{i} s_{i} = 0
i, per tant,
 s_{1} = \sum_{i \in I\backslash\{1\}} -\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{1}} s_{i}
  • Si n \in \mathbb{N} és la dimensió (finita) de l'espai M, qualsevol conjunt de n vectors linealment independents n'és una base.
  • Si n és la dimensió finita de l'espai M, no pot haver-hi conjunts de més de n vectors linealment independents.

Aquestes dues últimes afirmacions són una conseqüència immediata del teorema de substitució de Steinitz.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Considerem el ℤ-mòdul lliure \mathbb{Z}^2 i els seus elements

a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, 
b = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}, 
c = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}.

Com que tenim la combinació lineal 3a + 3b − 2c = 0 els elements a, b i c són linealment dependents. Però cap d'ells és combinació lineal dels altres dos. En efecte, cadascuna de les expressions


a = \lambda_{1} b + \mu_{1} c,\quad
b = \lambda_{2} a + \mu_{2} c,\quad
c = \lambda_{3} a + \mu_{3} b

implica respectivament les igualtats

2 = 3 \mu_{1},\quad
2 = 3 \mu_{2},\quad
3 = 2 \lambda_{3} \text{ i } 3 = 2 \mu_{3}

que són impossibles de resoldre amb els \lambda_i, \mu_j dins dels nombres enters.