Angle

En geometria, un angle és la regió del pla compresa entre dues semirectes d'origen comú (el vèrtex de l'angle). La magnitud de l'angle és la «quantitat de rotació» que separa les dues rectes, i pot ser mesurada considerant l'amplitud de l'arc circular format quan es rota una semirecta al voltant del vèrtex fins que coincideix amb l'altra semirecta. Quan no hi ha possibilitat de confusió, el terme "angle" s'usa indistintament tant per la configuració geomètrica com per la seva magnitud angular, que és simplement una quantitat numèrica.

La paraula angle prové del llatí angulus, que significa "racó"; angulus és un diminutiu la forma primitiva del qual, angus, no prové del llatí, sinó del grec antic ἀγκύλος (ankylοs), que significa "encorbat" que, al seu torn, està relacionat amb l'arrel protoindoeuropea *ank-, que significa "doblegar" o "arquejar".

Euclides definí l'angle pla com la inclinació en un pla de dues línies que es tallen i que no són parel·leles. Segons Procle, un angle ha de ser o bé una qualitat o quantitat, o bé una relació. El primer concepte fou usat per Eudem de Rodes, que explicava l'angle com una desviació de la recta; el segon, per Carp d'Antioquia, que el veia com un interval o espai entre línies secants; i finalment, el tercer fou usat per Euclides, tot i que les seves definicions d'angle obtús, recte i agut són certament quantitatives.

Definició més rigorosa

Els quatre angles formats per dues rectes secants

Una mica més rigorosament (per evitar la imprecisió del mot entre), per definir angle es procedeix com segueix:

Siguin dues rectes (a i b) que intersequen en un punt V. Sigui π el pla que defineixen. Es veu que a divideix el pla π en dos semiplans i b també divideix el pla π en uns altres dos semiplans. S'anomena angle convex (o angle) a cadascun del conjunt de punts que pertanyen a dos dels quatre semiplans (es formen doncs quatre angles).

Angles adjacents

Dos angles són adjacents quan els punts que els formen pertanyen a un mateix semiplà dels determinats per una de les rectes i a diferents semiplans dels determinats per l'altra recta. És immediat veure que dos angles adjacents sumen un angle pla.

Angles oposats pel vèrtex

Dos angles són oposats pel vèrtex quan els costats d'un són la prolongació dels de l'altre. Dos angles oposats pel vèrtex són iguals. Demostració: els quatre angles que apareixen en la intersecció de les rectes a i b sumen un angle complet. Sigui α la mesura d'un d'aquests angles. Per la propietat dels angles adjacents, es veu que els dos angles adjacents a α mesuren 180º-α. Sumant tots quatre angles i obligant a que sumin un angle complet s'obté que la mesura de l'angle oposat pel vèrtex a l'angle α és també α, QED.

Angle còncau

Definit un angle convex, el conjunt format pels seus dos angles adjacents i el seu angle oposat pel vèrtex s'anomena angle còncau.

Mesura dels angles

Definició del radian, l'angle quan tenim un arc de longitud igual al radi.

En anàlisi dimensional l'obertura dels angles és una magnitud física que es pot mesurar de diferents maneres. Al Sistema Internacional, la unitat per a mesurar els angles és el radian (també es pot escriure radiant), una unitat derivada sense dimensions. Hi d'altres unitats per mesurar els angles, a més del radiant una de les més utilitzades és el grau. Bàsicament hi ha dues maneres de definir les unitats utilitzades per a mesurar els angles:

1. Amb el quocient entre la longitud (l) de l'arc limitat pels dos costats de l'angle d'una circumferència centrada al vèrtex i el seu radi (r).

• Radian

Aquest quocient és independent del radi de la circumferència i no té unitats. Tanmateix se sol indicar amb la pseudounitat radian (rad). ${\phi}=\frac{l}{r}$. Els radians són molt usats en matemàtiques ja que no necessiten d'una convenció arbitrària i les funcions trigonomètriques presenten desenvolupaments senzills en sèrie de Taylor si el seu argument és expressat en radians. És per això que és la pseudounitat del Sistema Internacional d'Unitats.

2. Comparant-lo amb alguna divisió d'algun angle notable. Les comparacions més usuals són:

• Grau

El grau sexagesimal de símbol º és la norantena part d'un angle recte. En aquest cas, per subdivisions del grau sexagesimal, usualment s'utilitza la seixantena part del grau sexagesimal, el minut (') i la seixantena part del minut, el segon ("). Els graus sexagesimals són els més usats en la vida quotidiana tot i que no tenen cap propietat interessant.

El grau centesimal o gon i de símbol ^g o ^G és la centena part d'una angle recte. Per a subdivisions del grau centesimal, usualment s'utilitza la centena part del grau centesimal, el minut (^m o ^c) i la centena part del minut, el segon (^s o ^cc). Els graus centesimals són molt usats en topografia ja que tenen la bona propietat de fer les divisions en base 100.

Un angle complet és una volta sencera.

Algunes equivalències apareixen tot seguit:

180º = 200^g = π rad$=\frac{1}{2}$volta sencera

1^g = 100^m = 10000^s = 1^G = 100^c = 10000^cc

1º = 60' = 3600"

1rad = 57º17'44.8..."

Les màquines de calcular solen usar els símbols R, D i G per referir-se a radians, graus sexagesimals (en anglès, degrees) i graus centesimals (en anglès, grads) respectivament.

També és freqüent en angles petits, sobretot per mesurar inclinacions respecte la horitzontal, l'ús de la tangent de l'angle, sovint indicada en forma de percentatge. Llavors, es parla més aviat de pendent o rampa, però també s'està mesurant l'obertura d'un angle. En aquest cas, la tangent té un avantatge clar, i és que és la raó entre la distància vertical i la horitzontal (per exemple un pendent 4% significa que es recorren 4 metres de distància vertical per cada 100 metres de distància horitzontal). La tangent, coincideix aproximadament amb l'angle en radians quan aquest és petit.

Criteri de signes i altres convencions

En matemàtiques en el pla, universalment s'adopta el criteri de signes següent:

• Signe positiu per angles mesurats en sentit antihorari.
• Signe negatiu per angles mesurats en sentit horari.

En matemàtiques en el pla, a més, s'entén com a mesura de l'angle d'una recta a l'angle que forma aquesta amb l'eix d'abscisses.

Angles notables

Els angles, segons la seva amplitud, s'anomenen:

Les busques d'un rellotge conformen diferents tipus d'angles. en aquest cas, un angle agut.

Tipus	Descripció
Angle nul	L'angle nul és aquell que mesura 0º (complet però sense l'arc).
Angle agut	És l'angle format per dues semirectes amb una amplitud major de 0 rad i menor de $\frac{\pi}{2}$ rad. És a dir, major de 0° i menor de 90° (graus sexagesimals), o menor de 100g (graus centesimals).
Angle recte	L'angle recte és aquell que és igual al seu suplementari. Mesura 90 graus sexagesimals (º), 100 graus centesimals (g) o $\frac{{\pi}}{2}$ radians (rad) i és la meitat d'un angle pla. Dos angles que sumen un angle recte són complementaris. Els dos costats d'un angle recta són perpendiculars. La Projecció ortogonal d'un sobre l'altre és un punt, que coincideix amb el vèrtex.
Angle obtús	Un angle obtús té una amplitud més gran de $\frac{\pi}{2}$ rad i més petita que $\pi\,$ rad Major de 90° i menor de 180° sexagesimals (o més de 100g i menys de 200g centesimals).
Angle pla o estès o colinial	L'angle pla és l'angle limitat per dues semirectes oposades. Mesura 180º, 200g o π rad. Dos angles que sumen un angle pla són suplementaris. Equivalent a 180° sexagesimals (o 200g centesimals).
Angle complet o perigonal	Un angle complet o perigonal, té una amplitud de $2\pi\,$ rad Equivalent a 360° sexagesimals (o 400g centesimals).

Classificació dels angles en aguts i obtusos

Triangle format amb tres angles aguts

Angle obtús dins d'un triangle

Segons la seva comparació amb l'angle recte, els angles es classifiquen en:

• Angles aguts, si són estrictament menors que un angle recte.
• Angles obtusos, si són estrictament majors que un angle recte.

Angles sobre superfícies guerxes

(aquest apartat, de moment és buit)

Suma d'angles interiors d'un polígon simple

En geometria euclidiana, la suma d'angles interiors d'un polígon simple d'n costats és de (n-2)·π radians o (n-2)·180º. Així, la suma d'angles interns d'un triangle és 180º i la d'un quadrilàter, 360º.

Demostració: (aquí cal inserir-hi una demostració del que s'acaba d'afirmar).

Angle definit per un producte intern en un espai euclidià

(aquest apartat, de moment és buit).

Galeria d'angles

$0^{\circ}\,$	$15^{\circ}\,$	$30^{\circ}\,$	$45^{\circ}\,$	$60^{\circ}\,$	$75^{\circ}\,$
$90^{\circ}\,$	$105^{\circ}\,$	$120^{\circ}\,$	$135^{\circ}\,$	$150^{\circ}\,$	$165^{\circ}\,$
$180^{\circ}\,$	$195^{\circ}\,$	$210^{\circ}\,$	$225^{\circ}\,$	$240^{\circ}\,$	$255^{\circ}\,$
$270^{\circ}\,$	$285^{\circ}\,$	$300^{\circ}\,$	$315^{\circ}\,$	$330^{\circ}\,$	$345^{\circ}\,$
$360^{\circ}\,$

Vegeu també

• Casos d'angle i cercle
• Angle sòlid
• Nombre pi

Bibliografia

• Heiberg, Johan Ludvig. Euclid. 1, 1908 (The thirteen books of Euclid's Elements). 
•  Aquest article incorpora text d'una publicació que es troba al domini públic: Chisholm, Hugh (1911). A: Encyclopædia Britannica (11a edició) (en anglès). Cambridge University Press.