Isometria

En matemàtiques, una isometria o isomorfisme isomètric és un isomorfisme amb preservació de distància entre espais mètrics. Les figures geomètriques que es poden relacionar amb una isometria s'anomenen congruents. Les isometries són sovint usades en construccions en les quals un espai està inclòs en un altre.

Definicions

Siguin X i Y espais mètrics amb mides d_Y i d_X. Una funció ƒ : X → Y s'anomena amb preservació de distància si per qualsevol x,y ∈ X es compleix

$d_Y\left(f(x),f(y)\right)=d_X(x,y).$

Una funció amb preservació de distància és automàticament injectiva.

Una isometria global és una funció amb preservació de distància bijectiva. Una isometria de camí és una funció que preserva la mida de les corbes (no necessàriament bijectiva).

Dos espais mètrics X i Y s'anomenen isomètrics si existeix una isometria d'X a Y. El conjunt d'isometries d'un espai mètric sobre ell mateix forma un grup que respecta la composició de funcions, anomenant grup isomètric.

Exemples

• Qualsevol reflexió, translació i rotació és una isometria global en espais euclidians.
• La funció R$\to$R definida per y $x\mapsto |x|$ és una isometria de camí, però no una isometria global.
• Les aplicacions lineals de Cⁿ sobre ell mateix són matrius unitàries.