Polígon

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «Polígon (desambiguació)».
Exemples de diferents tipus de polígons

En geometria, un polígon és una figura plana formada per un nombre finit de segments lineals seqüencials (línia poligonal). Cadascun d'aquests segments és un costat, i cada un dels punts on s'uneixen dos costats és un vèrtex. Sovint, el terme polígon també s'utilitza per descriure l'àrea compresa dins de la figura, o la unió de la figura i l'àrea. Un n-gon és un polígon de n costats, i un polígon amb tots els angles i costats iguals s'anomena polígon regular. Un polígon és un exemple bidimensional del concepte de polítop, el qual abraça qualsevol nombre de dimensions.

La paraula "polígon" deriva del grec πολύς (polús, 'molts') i γωνία (gōnía, 'cantonada' o 'angle).

Classificació taxonòmica[modifica | modifica el codi]

Polígons de diferents tipus

La següent gràfica il·lustra part de la classificació taxonòmica dels polígons:


   \mathit{Pol}\acute{i}\mathit{gon}
   \begin{cases}
      \mathit{simple}
      \begin{cases}
         \mathit{convex}
         \begin{cases}
            \mathit{regular}\\
            \mathit{irregular}
         \end{cases}\\
         \mathit{c}\grave{o}\mathit{ncau}
      \end{cases}\\
      \mathit{complex}
   \end{cases}

Segons el nombre de costats[modifica | modifica el codi]

La classificació segons el nombre de costats és la que se sol usar normalment. Vegeu la secció Noms dels polígons.

Segons la convexitat o tipus de no-convexitat[modifica | modifica el codi]

  • Convex: qualsevol línia traçada a través del polígon (que no sigui tangent a un costat o vèrtex) talla la seva frontera exactament dos cops. De manera equivalent, tots els seus angles interiors són inferiors a 180 graus.
  • No convex: es pot traçar una línia a través seu que talli la frontera més de dos cops. En altres paraules, té almenys un angle interior de més de 180 graus.
  • Simple: la frontera del polígon no es creua amb ella mateixa. Tots els polígons convexs són simples.
  • Còncau: polígon alhora no convex i simple.
  • Amb forma d'estrella: tot l'interior del polígon és visible des d'un sol punt sense creuar cap costat. El polígon ha de ser simple, i pot ser o bé convex o bé còncau.
  • Complex o autointersecant: la frontera del polígon es talla amb ella mateixa.
  • Estrellat: polígon que s'autointerseca (complex) de manera regular.

Segons la simetria[modifica | modifica el codi]

  • Equiangular: tots els seus angles són iguals.
  • Polígon cíclic o concíclic: tots els seus vèrtexs cauen sobre un únic cercle.
  • Isogonal o vèrtex-transitiu: tots els vèrtexs cauen sobre la mateixa òrbita de simetria. Un polígon isogonal també és cíclic i equiangular.
  • Equilàter: polígon que té tots els costats de la mateixa llargada. Un polígon de 5 o més costats pots ser equilateral sense ser convex.
  • Isotoxal o costat-transitiu: tots els seus costats cauen sobre la mateixa òrbita de simetria. Un polígon isotoxal també és equilàter.
  • Tangencial tots els seus costats són tangents a un cercle inscrit.
  • Regular: un polígon regular és aquell que és alhora cíclic i equilàter. Un polígon regular no convex s'anomena polígon estrellat regular.

Segons altres paràmetres[modifica | modifica el codi]

  • Rectilini: polígon els costats del qual es troben en angles rectes, és a dir, tots els seus angles interiors són de 90 o 270 graus.
  • Monòton: un polígon és monòton respecte una línia donada L si tota línia ortogonal a L interseca el polígon no més d'una vegada.

Noms dels polígons[modifica | modifica el codi]

Alguns exemples de noms de polígons
Nom Costats Nom Costats
Triangle 3 Triskaidecàgon 13
Quadrilàter 4 Pentadecàgon 15
Pentàgon 5 Heptadecàgon 17
Hexàgon 6 Enneadecàgon 19
Heptàgon 7 Icosàgon 20
Octàgon 8 Triacontàgon 30
Enneàgon 9 Hectàgon 100
Decàgon 10 Quiliògon 1.000
Hendecàgon 11 Miriàgon 10.000
Dodecàgon 12

Els polígons reben un nom concret segons el seu nombre de costats. Es combina un prefix numèric derivat del grec amb el sufix -gon ('costat'), com per exemple pentàgon (cinc costats) o dodecàgon (dotze costats). El triangle i el quadrilàter són excepcions a aquesta regla. Quan es tracta de polígons de molts costats, els matemàtics escriuen el propi numeral, com per exemple 63-gon. També es pot fer servir una variable, normalment n-gon, quan es vol indicar un nombre de costats n desconegut.

Per construir el nom d'un polígon de més de 20 i menys de 100 costats, es combinen els prefixos de la següent manera:

Desenes i Unitats Sufix final
-kai- 1 -hena- -gon
20 icosi- 2 -di-
30 triaconta- 3 -tri-
40 tetraconta- 4 -tetra-
50 pentaconta- 5 -penta-
60 hexaconta- 6 -hexa-
70 heptaconta- 7 -hepta-
80 octaconta- 8 -octa-
90 enneaconta- 9 -ennea-

Per exemple, una figura de 42 costats s'anomenaria de la següent manera:

Desenes i Unitats Nom complet del polígon
tetraconta- -kai- -di- -gon tetracontakaidígon

I una figura de 50 costats:

Desenes i Unitats Sufix final Nom complet del polígon
pentaconta-   -gon pentacontàgon

Propietats[modifica | modifica el codi]

En tota la secció s'assumeix geometria euclidiana.

Angles[modifica | modifica el codi]

Qualsevol polígon, regular o irregular, complex o simple, té tants vèrtexs com costats. A més, cada vèrtex té diversos angles. Els angles més importants són els següents:

  • Angle interior: la suma de tots els angles interiors d'un n-gon simple és (n − 2)π radians o (n − 2)180 graus. Això és així perquè qualsevol n-gon simple es pot considerar format per (n − 2) triangles, cadascun dels quals té una suma d'angles interiors de π radians o 180 graus. La mesura de qualsevol angle interior d'un n-gon regular convex és \left(1-\tfrac{2}{n}\right)\pi radians o 180-\tfrac{360}{n} graus. Els angles interiors dels polígons estrellats van ser estudiats per primera vegada per Poinsot, en el mateix article en el qual descriu els sòlids de Kepler-Poinsot.
  • Angle exterior: quan es dibuixa un n-gon convex, l'angle "girat" en un vèrtex és l'angle exterior (o extern). Quan es traça tot el polígon es fa una volta completa, de tal manera que la suma de tots els angles exteriors ha de ser de 360º. Aquest argument es pot generalitzar a polígons simples còncaus fent que els angles externs que giren en la direcció oposada contribueixen negativament (resten). En general, si es traça un n-gon, la suma dels angles exteriors pot ser qualsevol enter múltiple de 360°, com per exemple 720° per un pentacle.

L'angle exterior és suplementari a l'angle d'interior.

Àrea i centroide[modifica | modifica el codi]

Nomenclatura d'un polígon en dues dimensions

L'àrea d'un polígon és la mesura de la regió bidimensional tancada pel polígon. Per un polígon simple de n vèrtexs, l'àrea ve donada per:[1]

A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,

D'altra banda, les coordenades del baricentre (o centroide o centre de masses) són:[1]

C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,
C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,

Per tancar el polígon cal considerar el primer i darrer vèrtexs com el mateix, és a dir xn, yn = x0, y0. Cal ordenar els vèrtexs d'acord amb la seva orientació positiva o negativa (en el sentit de les agulles del rellotge o en el sentit contrari, respectivament); si s'ordenen negativament, el valor donat per la fórmula de l'àrea serà negatiu però correcte en valor absolut. Se sol anomenar fórmula d'àrea de Gauss.

L'àrea d'un polígon simple també es pot calcular si es coneixen les longituds dels costats (a1, a2, ..., an) i els angles exteriors (θ1, θ2, ..., θn). La fórmula, descrita per Lopshits el 1963,[2] és:

\begin{align}A = \frac12 ( a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] ) \end{align}

Si el polígon es pot dibuixar en una reixeta (malla) equiespaiada de tal manera que tots els seus vèrtexs siguin nodes de la reixeta, el teorema de Pick dóna una fórmula simple per calcular l'àrea del polígon basant-se en el nombre de punts interiors del polígon i de sobre la frontera.

En qualsevol polígon de perímetre p i àrea A es compleix el teorema isoperimètric:[3] p^2 > 4\pi A

Àrea d'un polígon regular[modifica | modifica el codi]

L'àrea d'un polígon regular es pot calcular en termes del seu apotema a (de vegades anomenat radi) i del seu perímetre p segons la següent fórmula:

A = \tfrac{1}{2} \cdot p \cdot r

L'àrea d'un n-gon regular de costat s inscrit en un cercle unitat és:

A = \frac{ns}{4} \sqrt{4-s^{2}}

L'àrea d'un n-gon regular en termes del radi r del seu cercle circumscrit i el seu perímetre p ve donada per:

A = \frac {r}{2} \cdot p \cdot \sqrt{1- \tfrac{p^{2}}{4n^{2}r^{2}}}

L'àrea d'un n-gon regular inscrit en un cercle unitat, de costat s i d'angle interior θ també es pot expressar trigonometralment com:

A = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n} = \frac{ns^{2}}{4}\cot\frac{\theta}{n-2}=n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \cdot \cos \frac{\pi}{n} = n \cdot \sin \frac{\theta}{n-2} \cdot \cos \frac{\theta}{n-2}

Graus de llibertat[modifica | modifica el codi]

Un n-gon té 2n graus de llibertat distribuïts de la següent manera: 2 de posició, un d'orientació rotacional, un de mida general i 2n - 4 per forma. En el cas de simetria de reflexió aquest darrer es redueix a 2n - 2.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Polígon

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 Polygon Area and Centroid (anglès)
  2. A.M. Lopshits. Computation of areas of oriented figures (en anglès). D C Heath and Company: Boston, MA, 1963. 
  3. Dergiades,Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", Forum Mathematicorum 2, 2002, 129-130 (anglès)