Tensor

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Un tensor de segon ordre, en tres dimensions.

En matemàtiques, un tensor és certa classe d'entitat algebraica de diverses components, que generalitza els conceptes de escalar, vector i matriu d'una manera que sigui independent de qualsevol sistema de coordenades escollit. Els tensors són d'especial importància en física. Els tensors poden ser representats per una matriu de components en alguns casos.

Rerefons[modifica | modifica el codi]

La paraula la va introduir William Rowan Hamilton a 1846, però la va fer servir per al que actualment es coneix com mòdul. La paraula es va usar en la seva accepció actual per Woldemar Voigt a 1899. La paraula tensor ve del llatí tensus, participi passat de tendere 'estirar, estendre'. El nom es va estendre perquè la teoria de l'elasticitat va ser una de les primeres aplicacions físiques on es van usar tensors.

La notació va ser desenvolupada al voltant de 1890 per Gregorio Ricci-Curbastro sota el títol de geometria diferencial absoluta, i ho va fer accessible a molts matemàtics amb la publicació del text clàssic de Tullio Levi-Civita lcàlcul diferencial absolut a 1900 (en italià, amb posteriors traduccions). L'acceptació més àmplia del càlcul tensorial es va assolir amb la introducció de la teoria de la relativitat general per part de Einstein al voltant de 1915. La relativitat general es formula totalment en el llenguatge dels tensors, que Einstein havia après del mateix Levi-Civita amb gran dificultat. Però els tensors s'utilitzen també dins d'altres camps ara la mecànica de medis continus (vegeu tensor de tensions o elasticitat lineal).

Noteu que la paraula "tensor" s'utilitza sovint com a abreviatura de camp tensorial, que és un valor tensorial definit en cada punt en una varietat (matemàtiques). Per entendre els camps tensorials, cal primer entendre la idea bàsica de tensor.

L'elecció de l'enfocament[modifica | modifica el codi]

Hi ha dues maneres d'apropar-se a la definició de tensor:

  • La manera usual de la física de definir els tensors, en termes d'objectes les components es transformen sota canvis de coordenades segons certes regles, introduint la idea de transformacions covariants o contravariants.
  • La manera usual de la matemàtica, que implica definir certs espais vectorials definits a partir d'un espai vectorial donat, sense fixar qualsevol conjunts de coordenades fins que les bases s'introdueixin per necessitat.

Els vectors covariant de primer ordre, per exemple, també es descriuen com un-formes, o com els elements del espai dual.

Exemples[modifica | modifica el codi]

No totes les relacions en la naturalesa són lineals, però la majoria és diferenciable i així es poden aproximar localment amb sumes de funcions multilineals. Així la majoria de les quantitats en les ciències físiques es poden expressar profitosament com tensors.

Com a exemple simple, consideri una nau a l'aigua. Desitgem descriure la seva resposta a una força aplicada. La força és un vector, i la nau respondrà amb una acceleració, que és també un vector. L'acceleració en general no estarà en la mateixa direcció que la força, a causa de la forma particular del cos de la nau. No obstant això, resulta que la relació entre la força i l'acceleració és lineal. Aquesta relació és descrita per un tensor del tipus (1, 1) (és a dir, que transforma un vector en un altre vector). El tensor es pot representar com una matriu que quan és multiplicada per un vector, doni lloc a un altre vector. Així com els números que representen un vector canviaran si un canvia el conjunt de coordenades, els números en la matriu que representa el tensor també canviaran quan es canviï el conjunt de coordenades.

En l'enginyeria, les tensions en l'interior d'un sòlid rígid o líquid també són descrites per un tensor. Si un element superficial particular dins del material se selecciona, el material en una banda de la superfície d'aplicar una força en l'altre costat. En general, aquesta força no serà ortogonal a la superfície, sinó que dependrà de l'orientació de la superfície d'una manera lineal. Això és descrit per un tensor del tipus (2, 0), o més exactament per un camp tensorial del tipus (2, 0) ja que les tensions poden canviar punt a punt.

Alguns exemples ben coneguts de tensors en geometria són les formes quadràtiques, i el tensor de curvatura. Alguns exemples de tensors físics són el tensor d'energia-moment, el tensor de polarització i el tensor dielèctric.

Les quantitats geomètriques i físiques poden ser categoritzades considerant els graus de llibertat inherents a la seva descripció. Les quantitats escalars són les que es poden representar per un sol número: rapidesa, massa, temperatura, per exemple. Hi ha també quantitats tipus vector, per exemple força, que requereixen una llista de números per a la seva descripció. Finalment, les quantitats com ara formes quadràtiques requereixen naturalment una matriu amb índexs múltiples per la seva representació. Aquestes últimes quantitats es poden concebre només com tensors.

Realment, la noció tensorial és absolutament general, i s'aplica a tots els exemples esmentats, els escalars i els vectors són casos particulars de tensors. La propietat que distingeix un escalar d'un vector, i distingeix tots dos d'una quantitat tensorial més general és el nombre d'índexs en la matriu de la representació. Aquest número s'anomena rang d'un tensor. Així, els escalars són els tensors de rang zero (sense índexs), i els vectors són els tensors de rang un.

Enfocaments[modifica | modifica el codi]

Hi ha enfocaments equivalents per a visualitzar i treballar amb els tensors, que el contingut és realment igual pot arribar a ser evident només amb una certa familiaritat amb el material.

L'enfocament clàssic visualitza els tensors com matrius multidimensionals que són generalitzacions n -dimensionals dels escalars, vectors d'1 dimensió i matrius de dues dimensions. Els "components" tensorials són els índexs de l'arranjament.
Aquesta idea pot ser generalitzada encara més els camps tensorials, on els elements del tensor són funcions, o encara és diferencial.

La teoria del camp tensorial es pot veure, grosso modo, en aquest enfocament, com una altra extensió de la idea del Jacobià.

  • l'enfocament (lliure de components) modern : L'enfocament modern visualitza els tensors inicialment com a objectes abstractes, expressant un cert tipus definit de concepte multi-lineal. Les seves propietats ben conegudes es poden derivar de les seves definicions, com a funcions lineals o encara més generals, i les regles per a les manipulacions de tensors es presenten com a extensió del àlgebra lineal al àlgebra multilineal.
Aquest tractament ha substituït en gran part el tractament basat en components per a l'estudi avançat, a la manera en què el tractament lliure de components més modern de vectors substitueix el tractament basat en components tradicional encara que el tractament basat en components s'hagi utilitzat per proporcionar una motivació elemental per el concepte d'un vector. Es podria dir que el lema és 'tensors són elements d'un cert espai tensorial'.

En el fons s'expressa el mateix contingut de còmput, de les dues maneres.

Densitats tensorials[modifica | modifica el codi]

També és possible que un camp tensorial tingui una "densitat". Un tensor amb la densitat r es transforma com un tensor ordinari sota transformacions de coordenades, excepte que també és multiplicat pel determinant de l'Jacobià a la potència r-èsima. Això s'explica millor, potser, amb els fibrats vectorials: on el fibrat determinant del fibrat tangent és un fibrat de línia que es pot utilitzar per torçar altres fibrats r vegades.

Covariància i contravariància[modifica | modifica el codi]

Per apropar-nos al concepte de covariància i contravariança primer unes definicions. Acceptem inicialment les següents definicions. Un tensor contravariant de segon ordre és aquell que es transforma segons:

(1)

{A '}^{ij}=\frac{\partial x^{\prime}_i}{\partial x_k}\frac{\partial x^{\prime}_j}{\partial x_l}A^{kl}

Un tensor covariant de segon ordre és aquell que es transforma segons:

(2)

 C^{\prime}_{ij}=\frac{\partial x_k}{\partial x^{\prime}_i}\frac{\partial x_l}{\partial x^{\prime}_{j}}C_{kl}

Per un moment, ignorem la posició dels índexs. Sigui {x_k} una base qualsevol de l'espai i apliquem una transformació de coordenades que ens porta a la nova base {x^\prime_k}. Suposem que ho volem fer mitjançant una transformació ortogonal, que a més conservi la norma, és a dir, una transformació ortonormal, per simplificar el càlcul.

Per tractar-se d'una transformació ortonornal la longitud no es veu afectada. És a dir, la quantitat  A_i x_i\equiv A^{\prime}_j x^{\prime}_j és un invariant.

Ha d'existir una certa relació entre la base antiga i la base nova, que vindrà donada per una matriu de canvi 'O' que ens permet recuperar les coordenades de la base antiga respecte a les de la nova base. Això es tria així per conveni.

 x_i = O_{ij}x^{\prime}_j

Com que es tracta d'una transformació ortonornal ( O^{-1}\equiv O^T ), el canvi invers és:

 x^{\prime}_j = O_{ji}x_i

Això significa que el vector 'A' a la nova base vindrà donat per:

 A_i = O_{ji}A^{\prime}_j

O el que és el mateix,  A = O^{T}A^\prime o bé  A^\prime = OA

Un cop ha quedat clar com anem a transformar el nostre vector passem als tensors. Suposem que tenim un n-tensor (tensor d'ordre n)  T_{I_1\ldots I_n} aquest objecte es transforma com el producte de n vectors. Això significa que hi ha una relació del tipus:

T_{j_1, ..., j_n} = O_{j_1 i_1} ... O_{j_n i_n} T_{i_1, ..., i_n} (3)

Utilitzant aquesta notació, les dues equacions del principi queden com segueix:

A^{\prime}_{j_1 j_2} = O_{j_1 i_1} O_{j_2 i_2} A_{i_1 i_2}

C^{\prime}_{j_1 j_2} = O_{i_1 j_1} O_{i_2 j_2} C_{i_1 i_2}

És a dir, un n-tensor es comporta com el vector A però de forma generalitzada an dimensions, ara la matriu de canvi és un producte de n matrius que ens diuen exactament com es transforma el nostre n-tensor.

Un exemple simple de n-tensor és justament el producte de n vectors, T_{i_1,...,i_n} = A_{i_1} B_{i_2} ... X_{i_n} ja que basant-nos en el que vaig escriure abans per el vector A això compleix exactament el que he descrit per al n-tensor.

El primer dels dos 2-tensors (A) es transforma com el segon (C) però utilitzant la matriu transposada en lloc de la matriu 'O' original (si no estiguéssim en coordenades ortogonals, la matriu seria inversa en lloc de transposada). Llavors ens topem amb un problema de notació en estar trucant igual a dues coses diferents. Per salvar aquest inconvenient als tensors del tipus:

A'^{j_1 j_2} = O_{j_1 i_1} O_{j_2 i_2} A^{i_1 i_2}

els anomenarem tensors contravariants perquè es transformen amb la matriu inversa i escriurem els índexs dels seus components dalt a manera de superíndex.

Als tensors que es transformen amb la matriu transposada els anomenarem covariant i els índexs els escriurem sota.

A l'espai euclidià el tensor mètric  G_{ij} és la matriu identitat. Per tant, es verifica trivialment que  G_{ij}= G_{ji} i per tant tensors covariant i contravariantes utilitzen la mateixa matriu de transformació de manera que no cal fer cap distinció.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]