Estructura lineal dual

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El mòdul dual i l'espai dual d'una estructura lineal bàsica (mòdul sobre un anell i espai vectorial sobre un cos, respectivament), és el conjunt de les seves formes lineals, juntament amb la seva estructura lineal corresponent. Quan el A-mòdul és lliure, les propietats del dual es confonen amb les de l'espai dual d'un espai vectorial, que no és altra cosa que un mòdul lliure sobre un cos.

Mòdul dual i espai dual[modifica | modifica el codi]

Sigui M un A-mòdul per l'esquerra sobre un anell A. Sigui M^{\ast} \, el conjunt de les formes lineals de M, és a dir, el conjunt d'homomorfismes de M en A considerat ell mateix com a A-mòdul per l'esquerra, amb l'acció de l'anell A sobre cadascuna de les formes de M donada per


(\xi a)(m) = \xi(m) a,\quad
\xi \in M^{\ast},\quad
a \in A,\quad
m \in M.

Aleshores, M^{\ast} \, és un A-mòdul per la dreta que s'anomena A-mòdul dual de M. En la notació habitual per a les formes lineals, l'acció de l'anell A sobre les formes de M^{\ast} \, s'escriu


\langle m, \xi a \rangle = \langle m, \xi \rangle a,\quad
\xi \in M^{\ast},\quad
a \in A,\quad
m \in M.

Si A és un cos, aleshores M és un espai vectorial i M^{\ast} \, és un altre espai vectorial anomenat espai dual de l'espai M. Aleshores, les formes lineals d'M^{\ast} \, se solen anomenar covectors.

Dualitat en mòduls lliures i espais vectorials[modifica | modifica el codi]

Si F_{S} és el A-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors S, per cada aplicació f: S \longrightarrow A hi ha un homomorfisme únic \xi: F_{S} \longrightarrow A que fa que el següent diagrama

i:S\to F_S, \xi:F_S\to A, f:S\to A

sigui commutatiu. L'homomorfisme \xi és una forma lineal del mòdul F_S i, per tant, un element del mòdul dual F_{S}^{\ast} \,. En conseqüència, i per causa de la unicitat de l'homomorfisme \xi i de la commutativitat del diagrama anterior, el mòdul dual, F_{S}^{\ast} \, es pot identificar amb el mòdul A^{S} de les aplicacions de S en l'anell A, és a dir, amb el producte directe

F_{S}^{\ast} \cong \prod_{s \in S} A_{s},\quad A_{s} = A

d'una família d'exemplars de l'anell A indexada pel conjunt S. D'altra banda, el mòdul lliure F_{S} es pot identificar amb la suma directa

F_{S} \cong \bigoplus_{s \in S} A_{s},\quad A_{s} = A

d'una família d'exemplars de l'anell A indexada també pel conjunt S. Això implica que la cardinalitat del mòdul dual és estrictament més gran que la del mòdul lliure inicial, llevat que S sigui un conjunt finit, és a dir, si no és que F_{S} és finitament generat. Els resultats anteriors són perfectament vàlids si A és un cos i, per tant, si F_S és un espai vectorial amb l'afegitó que, com que l'espai dual és de cardinalitat més gran que la del espai inicial, la dimensió de l'espai dual és estrictament més gran que la de l'espai inicial si no és que aquesta dimensió és finita, cas en el que són iguals.

Bases duals[modifica | modifica el codi]

Considerem ara que el conjunt S és finit. Podem posar S = { 1, 2, ..., n }. Aleshores F_{S} \, és un mòdul lliure finitament generat de rang n (o un espai vectorial de dimensió finita n, si A és un cos). Per cada aplicació

x_i: S \longrightarrow A : j \mapsto x_i(j) =\delta_{ij} = \begin{cases}0 & \text{si } i \neq j \\ 1 &\text{si }i = j\end{cases}

(emprant la notació de la delta de Kronecker) hi ha una forma lineal única \omega_i: F_S \longrightarrow A que fa que el següent diagrama

i: S \to F_S, \omega_i: F_S \to A, x_i: S \to A

sigui commutatiu. Amb la notació i(j) = e_j \in F_{S}, el conjunt i(S) = B= \{g_1, g_2, \ldots, g_n\} és una base de F_{S} i l'acció de les n formes lineals del conjunt B^{\ast} = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} \subseteq F_{S}^{\ast}\, és \langle g_j, \omega_i\rangle = \delta_{ij}.

Ara tenim que, si \sum_{i=1}^{n} \omega_i \lambda_i = 0, \; \lambda_i \in A, per cada j \in\{ 1, 2, \ldots, n\},

 0 = \left\langle g_j, \sum_{i=1}^{n} \omega_i \lambda_i \right\rangle = \sum_{i=1}^{n} \langle g_j, \omega_i\rangle \lambda_i = \langle g_j, \omega_j\rangle \lambda_j = \lambda_j

i el conjunt B^{\ast}\, és linealment independent. A més, com que F_{S} és un mòdul lliure, tota forma lineal \xi \in F_{S}^{\ast} queda determinada pels seus valors a la base B. Si posem \langle g_i, \xi \rangle = \mu_i i m \in F_{S} és qualsevol, tenim

\begin{align} 
\langle m, \xi \rangle &= \left\langle \sum_{i=1}^{n} \lambda_i g_i, \xi \right\rangle = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \langle g_i, \xi \rangle = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \mu_i = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \langle g_i, \omega_i \rangle \mu_i = \\
&= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \sum_{j=1}^{n} \langle g_i, \omega_j \rangle \mu_j = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \left\langle g_i, \sum_{j=1}^{n} \omega_j \mu_j \right\rangle = \\
&= \left\langle \sum_{i=1}^{n} \lambda_i g_i, \sum_{j=1}^{n} \omega_j \mu_j \right\rangle = \left\langle m, \sum_{j=1}^{n} \omega_j \mu_j \right\rangle \end{align}

i, en conseqüència,

\xi = \sum_{j=1}^{n} \omega_j \mu_j

i B^{\ast} \, genera el mòdul dual (espai dual) F_{S}^{\ast} i, per tant, n'és una base. Aquesta base és la base dual de la base B.

Resulta, doncs, que els mòduls duals (respectivament espais duals) de mòduls lliures finitament generats (resp. espais vectorials de dimensió finita) tenen el mateix rang (resp. la mateixa dimensió) i, si l'anell A és commutatiu, són, per tant, isomorfs. Però aquest isomorfisme no és pas canònic, sinó que depèn de la base escollida.

En el cas de mòduls lliures no finitament generats (espais vectorials de dimensió infinita), el conjunt B^{\ast} \, només genera un submòdul estricte (subespai estricte) del dual.

Formes bilineals i dualitat[modifica | modifica el codi]

Sigui \omega: M \times N \longrightarrow A una forma bilineal dels dos mòduls M per l'esquerra i N per la dreta sobre un anell A, i siguin M^{\ast} per la dreta i N^{\ast} per l'esquerra els seus respectius mòduls duals. Aleshores es poden definir, de manera natural, les aplicacions lineals

 f: M \longrightarrow N^{\ast} \qquad
g: N \longrightarrow M^{\ast}

donades per

 f(v) = \langle v, - \rangle_{\omega} \qquad
g(w) = \langle -, w \rangle_{\omega}

això és

\langle f(v), w \rangle = \langle v, w \rangle_{\omega},\quad
\forall w \in N
\langle v, g(w) \rangle = \langle v, w \rangle_{\omega},\quad
\forall v \in M

Si la forma bilineal ω és no degenerada, aleshores les aplicacions f i g són injectives, perquè ker f i ker g són els submòduls (subespais) nuls de la forma, els quals, per a una forma no degenerada, són nuls.

Si tant M com N són mòduls lliures de finitament generats (o espais vectorials de dimensió finita) la injectivitat de f i g implica

 \dim M \leq \dim N^{\ast},\quad
\dim N \leq \dim M^{\ast}

però com que són finitament generats,

\dim M = \dim M^{\ast},\quad
\dim N = \dim N^{\ast}

cosa que implica que dim M = dim N i que f i g són isomorfismes. Per tant, es poden fer les identificacions M = N^{\ast}, \; N = M^{\ast} i M i N són duals l'un de l'altre.

Si M = N i A és commutatiu, l'existència d'una forma bilineal no degenerada \omega: M \times M \longrightarrow A implica un isomorfisme entre M i el seu dual M^{\ast}, però aquest isomorfisme no és pas canònic, perquè n'hi ha tants com matrius quadrades n×n no singulars es puguin formar amb elements de l'anell A.

El bidual[modifica | modifica el codi]

Per a M i el seu dual, M^{\ast}\,, podem definir la forma bilineal

\Omega: M \times M^{\ast} \longrightarrow A
\langle m, \mu \rangle_{\Omega} = \langle m, \mu \rangle

que és òbviament no degenerada. Com ja s'ha mencionat més amunt, si M és de finitament generat (de dimensió finita), això implica l'isomorfime canònic

 f: M \longrightarrow M^{\ast\ast}
 m\longmapsto f(m) = \mu

amb

 \langle \mu, \varphi \rangle = \langle m, \varphi \rangle_{\Omega}

i M i M^{\ast\ast} es poden considerar idèntics i M^{\ast} i M^{\ast\ast} dual l'un de l'altre.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]