Suma directa

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra, el terme suma directa s'aplica a diverses situacions diferents.

Suma directa de subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Suma directa de dos subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Siguin F_1 i F_2 dos subespais vectorials de l'espai vectorial E. Es diu que F_1 i F_2 són en suma directa si i només si per a tot element u de F_1 + F_2, existeix una única parella \ (u_1; u_2) de F_1 \times F_2 tal que u = u_1 + u_2.

Es diu també en aquest cas que la suma F_1 + F_2 és directa.

En altres paraules, la suma de dos subespais vectorials F_1 i F_2 és directa si la descomposició de tot element de F_1 + F_2 en suma d'un element de F_1 i d'un element de F_2 és única.

La suma llavors es nota: F_1 \oplus F_2.

Es disposa de les caracteritzacions usuals següents:

  • F_1 i F_2 són en suma directa si i només si, per a tot u_1 de F_1 i u_2 de F_2
u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0
  • F_1 i F_2 són en suma directa si i només si
F_1 \cap F_2 = \{0\}

Cas de la dimensió finita: quan F_1 i F_2 són de dimensions finites, les assercions següents són equivalents:

  1. La suma F_1 + F_2 és directa.
  2. \dim F_1 + \dim F_2 = \dim(F_1 + F_2).
  3. Juxtaposant ("reunint") una base de F_1 i una base de F_2, es constitueix una base de F_1 + F_2.

Subespais suplementaris: dos subespais F_1 i F_2 de E s'anomenen suplementaris quan E = F_1 \oplus F_2. Això significa que per a tot element u de E, existeix una única parella \ (u_1; u_2) de F_1 \times F_2 tal que \ u = u_1 + u_2.

Suma directa de diversos subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Es pot generalitzar la noció de suma directa a una família finita de subespais vectorials de E.

Es diu que una família (F_i)_{i=1\cdots k} de subespais vectorials de E és en suma directa si i només si, per a tot element u de la suma F = \sum_{i=1}^k F_i, existeix una k-tupla única (u_1;u_2; \cdots;u_k) de F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k tal que u = \sum_{i=1}^k u_i.

Es diu també en aquest cas que la suma F dels subespais (F_i)_{i=1\cdots k} és directa.

En altres paraules, la suma és directa si la descomposició de tot element de F = \sum_{i=1}^k F_i en suma d'elements dels F_i\, és única.

Per designar una suma directa, es fan servir les notacions F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k o \bigoplus_{i = 1} ^kF_i.

Com en el cas de 2 subespais vectorials, es poden caracteritzar les sumes directes per la unicitat de la descomposició del vector nul:

La suma F = \sum_{i=1}^k F_i és directa si i només si:
L'única k -tupla (u_1;u_2; \cdots;u_k) de F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k tal que \sum_{i=1}^k u_i = 0 és aquella tots els elements de la qual són nuls.

Nota: així que la família comprèn almenys 3 subespais, no n'hi ha prou perquè la suma sigui directa que les seves interseccions dos a dos estiguin reduïdes a \ \{0\}, és a dir que:

F_i \cap F_j = \{0\} per a tot i i pe a tot j, i diferent de j.

Es veu observant a \R^2 els subespais vectorials:

F_1=\{(x; 0), x \in \R\}
F_2=\{(y; y), y \in \R\}
F_3=\{(0; t), t \in \R\}.

Les seves interseccions dos a dos queden reduïdes a {(0; 0)}, però la seva suma \ F = F_ 1 + F_2 + F_3 (igual a \ \R^2) no és directa.

En efecte, els 3 vectors u_1=(1; 0),\, u_2=(-1; -1),\, u_3=(0; 1) pertanyen respectivament a F_1,\, F_2,\, F_3; són no nuls, i tals que \ u_1 + u_2 + u_3= (0; 0): la descomposició del vector nul no és única.

Per altra banda, es demostra que els subespais de la família \ (F_{i})_{1\geq i\geq n} són en suma directa en \ E si i només si:

  • \ \sum_{i=1}^n F_i = E
  • \ \forall k \in \left\{ 1,...,n-1\right\}, \ \left(\sum_{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}

Quan els subespais vectorials són de dimensions finites, es té també l'equivalència de les assercions següents:

  1. Els (F_i)_{i=1\cdots k} són en suma directa.
  2. \sum_{i=1}^k \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}^k F_i\right).
  3. Juxtaposant una base \ \mathcal{B}_1 de \ F_1... una base \ \mathcal{B}_k de \ F_k, es constitueix una base de la suma.

Exemple: siguin E un espai vectorial sobre K de dimensió finita, i f un endomorfisme de E que té exactament p valors propis (diferents) anomenats  \lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p. Es designa per \ \mathrm{Id} l'endomorfisme identitat de E.

Per a tot enter i tal que 1 ≤ i ≤ p,  E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id}) és el subespai propi de f associat al valor propi \ \lambda_i.
Les dues propietats següents són clàssiques:

Quan és el cas, es constitueix una base \ \mathcal{B} de E diagonalitzant f juxtaposant una base \ \mathcal{B}_1 de \ E_1, ..., una base \ \mathcal{B}_p de \ E_p.

Suma directa ortogonal[modifica | modifica el codi]

Es designa aquí per E un espai préhilbertià real o complex (espai vectorial real o complex proveït d'un producte escalar). Sigui una família (F_i)_{i=1\cdots k} de subespais vectorials de E. Si són dos a dos d'ortogonals, la seva suma és directa. Llavors s'anomena suma directa ortogonal.

Un exemple molt senzill és l'espai F^\perp constituït pels vectors ortogonals a tots els vectors d'un subespai vectorial F: és en suma directa amb F. La igualtat E = F^\perp + F no sempre es verifica quan la dimensió és infinita. En canvi, sí que es verifica així que E és de dimensió finita.

Dos espais que són a la vegada suplementaris i ortogonals s'anomenen suplementaris ortogonals. Un subespai vectorial F de E, fins i tot si té suplementaris, no en té necessàriament un que li sigui ortogonal. Una condició suficient és que l'espai F sigui complet (cosa que es verifica en el cas particular si és de dimensió finita). Aquesta qüestió està vinculada a la possibilitat d'efectuar una projecció ortogonal.

Quan els subespais vectorials són de dimensions finites, es té l'equivalència de les assercions següents:

  1. Els (F_i)_{i=1\cdots k} són en suma directa ortogonal.
  2. Juxtaposant una base ortogonal \ \mathcal{B}_1 de \ F_1, ..., una base ortogonal \ \mathcal{B}_k de \ F_k, es constitueix una base ortogonal de la suma.

Suma directa externa i producte cartesià[modifica | modifica el codi]

Quan dos subespais F_1, F_2 d'un espai vectorial E són en suma directa, l'aplicació següent és bijectiva:

F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus F_2, (u_1; u_2) \mapsto u_1 + u_2

Existeix en aquest cas una única estructura d'espai vectorial sobre el producte cartesià F_1 \times F_2 tal que aquesta aplicació és un isomorfisme d'espais vectorials; la llei interna i la llei externa es defineixen respectivament per les relacions:

\ (u_1; u_2) + (v_1; v_2) = (u_1 + v_1; u_2 + v_2) et \alpha \, (u_1; u_2) = (\alpha\, u_1; \alpha\, u_2),
on u_1, v_1 són en F_1, u_2, v_2 són en F_2, i \alpha és en K.

Això porta, si E_1 i E_2 són dos espais vectorials qualssevol sobre el mateix cos K, a definir la seva suma directa, anomenada llavors externa.

Suma directa externa de dos K -espais vectorials[modifica | modifica el codi]

La suma directa externa de dos K-espais vectorials E_1 i E_2 és el producte cartesià E_1 \times E_2 sobre el qual es defineix

  • una addició:
\ (u_1; u_2) + (v_1; v_2) = (u_1 + v_1; u_2 + v_2)
  • una multiplicació externa pels elements de K:
\alpha \, (u_1; u_2) = (\alpha\, u_1; \alpha\, u_2) (où \alpha \in K)

Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt E_1 \times E_2 és un espai vectorial sobre K.

A partir d'aquí, \tilde{E_1} = E_1 \times \{0\} i \tilde{E_2} = \{0\} \times E_2 són dos subespais de E_1 \times E_2, respectivament isomorfs a E_1 i E_2 (s'ha "submergit" E_1, E_2 al producte cartesià);

la relació E_1 \times E_2 = \tilde{E_1} \oplus \tilde{E_2} justifica la denominació de suma a directa externa.

Quan E_1 i E_2 són de dimensions finites, ho és també la seva suma directa externa, i:

\dim(E_1 \times E_2) = \dim E_1 + \dim E_2
(ja que E_1 \times E_2 és suma directa dels dos subespais \tilde{E_1} i \tilde{E_2}, que tenen igual dimensió que \ E_1, \ E_2 respectivament).

Suma directa externa diversos K -espais vectorials[modifica | modifica el codi]

Es defineix també la suma directa externa \ E_1 \times \cdots \times E_k de k espais vectorials E_1, \dots, E_k sobre el mateix cos K.

Quan E_1, \dots, E_k són de dimensions finites, ho és també la seva suma directa externa, i:

\dim(E_1 \times \cdots \times E_k) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_k.

Suma directa externa d'una família infinita de K -espais vectorials[modifica | modifica el codi]

Per a un nombre finit d'espais vectorials la suma directa externa i el producte directe coincidixen. No és el cas quan la família és infinita.

En efecte, sigui (E_i)_{i\in I} una família (eventualment infinita) de K -espais vectorials. La suma directa externa \oplus_{i\in I} E_i és el subespai vectorial del producte directe \prod_{i\in I} E_i constituït les famílies amb suport finit. La propietat universal de més avall és la raó d'aquesta tria.

Es pot, amb aquesta noció, definir de forma elegant la suma directa d'una família infinita de subespais: Una família de subespais de E és en suma directa si i només si el morfisme suma que va de la suma directa externa d'aquests subespais a E que a una família de vectors associa la seva suma és injectiu.

Observació a propòsit d'altres estructures algebraiques[modifica | modifica el codi]

Es defineix de manera anàloga la suma directa externa d'un nombre finit de grups additius, o d'anells, o de A-mòduls sobre el mateix anell A.

Per exemple, si A_1 i A_2 són dos anells, es defineixen sobre A_1 \times A_2 dues lleis de composició interna:

  • una addició:
\ (a_1; a_2) + (b_1; b_2) = (a_1 + b_1; a_2 + b_2)
  • una multiplicació:
\ (a_1; a_2) \cdot (b_1; b_2) = (a_1 b_1; a_2 b_2)

Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt A_1 \times A_2 és un anell. Fins i tot si A_1 i A_2 són íntegres, el seu producte cartesià no ho és: a_1, a_2 sent dos elements no nuls de A_1, A_2 respectivament, es té: \ (a_1; 0) \cdot (0; a_2) = (0; 0).

Propietat universal de la suma directa[modifica | modifica el codi]

Sigui A un anell; sigui (M_i)_{i\in I} una família d'A-mòduls, N un A-mòdul; sigui (f_i: M_i\longrightarrow N)_{i\in I} una família d'aplicacions lineals.

Llavors existeix una única aplicació \phi: \bigoplus_{i\in I}^{ext} M_i\longrightarrow N A-lineal tal que: \forall i\in I, \phi \circ q_i = f_i amb  \begin{matrix}q_i : & M_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} M_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} l'aplicació injectiva canònica.


Vegeu també[modifica | modifica el codi]