Extensió de cossos

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra, les extensions de cos són el problema fonamental de la teoria de cossos. Un cos és un conjunt en el qual les operacions suma i producte estan definides i "funcionen bé". Un dels motius de construir una extensió d'un cos és el de cercar un conjunt més gran en el qual les operacions suma i producte seguisquen funcionant bé i a més es puguen resoldre equacions polinòmiques que no es poden resoldre en el cos original.

Definició[modifica | modifica el codi]

Siga (K, +, ·) un cos. Un cos L és una extensió de K si K és un subcòs de L, és a dir si (L,+,·) és un cos i (K,+,·) és un cos amb la restricció a K de les operacions + i · en L. Si L és extensió sobre K es denota L:K o L/K...

Extensió sobre un cos com espai vectorial sobre el cos[modifica | modifica el codi]

En efecte, l'addició de K serveix també d'addició en l'espai vectorial, i la multiplicació d'un element de K per un de L defineix el producte escalar de l'espai vectorial:

Per definició de cos, (L,+) és grup abelià, i podem considerar el producte per escalars  \cdot: K \times L \longrightarrow L com una restricció a K \times L del producte en  \cdot: L \times L \longrightarrow L. D'esta manera és immediat que es compleix que:

  • a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta),
  • (a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha),
  • (a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha,
  • 1 \cdot \alpha = \alpha,

qualssevol que siguen a,b \in K i \alpha,\beta \in L. Les dues primeres propietats són degudes a la distributivitat del producte respecte de la suma en L i a que K \subset L, la tercera es deu al fet que el producte és associatiu en L, i la quarta se deu a que K és subcòs de L, per el que l'element unitat de L és l'element unitat de K.

Extensió simple[modifica | modifica el codi]

Article principal: Extensió simple

El conjunt K(\alpha):= \left\{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\right\}. Este conjunt és un cos, és extensió de K, és subcòs de L, i de fet és la menor extensió de K que conté a \alpha. Se li denomina extensió generada per α sobre K.

Extensions algebraiques i transcendents[modifica | modifica el codi]

Teorema de Kronecker[modifica | modifica el codi]

Siga K un cos i p \in K[x] un polinomi irreduible, llavors existeix alguna extensió L:K de manera que p té alguna arrel en L.

Homomorfisme avaluació[modifica | modifica el codi]

L'aplicació \beta: K[x] \longrightarrow K(\alpha) que a cada polinomi p(x) \in K[x] li fa correspondre la seua avaluació en \alpha, i.e., \beta(p)=p(\alpha). Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina homomorfisme avaluació.

Extensió algebraica[modifica | modifica el codi]

Article principal: Extensió algebraica

Una extensió L:K se diu que és algebraica si tot element \alpha \in L és algebraic sobre K.

Elements algebraics[modifica | modifica el codi]

Article principal: Element algebraic

Suposem que existeix algun polinomi p \in K[x] que té a \alpha per arrel.

En esta situació (\operatorname{Ker}(\beta) \neq \{0\}, o equivalentement, existeix algun p \in K[x] irreduible con \frac{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)) se diu que \alpha és algebraic sobre K.

Un element és llavors algebraic sobre un cos si i només si és arrel d'algun polinomi a coeficients en aquest cos.

Polinomi mònic irreduible[modifica | modifica el codi]

Si \alpha és un element algebraic sobre el cos K de manera que \alpha \notin K, el polinomi p que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e., \operatorname{Ker} \beta = (p)) és irreduible. Dividint p per el seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la major potencia de la variable x) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal es la unitat), que se denota per m_{\alpha}^K i se denomina polinomi mònic irreduible de \alpha respecte de K.

Clarament, K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}.

Extensió transcendent[modifica | modifica el codi]

Article principal: Extensió transcendent

Una extensió L:K se diu que és transcendent si existeix algun element \alpha \in L que siga transcendent sobre K.

Elements transcendents[modifica | modifica el codi]

Article principal: Element transcendent

Si el Ker(\beta) = \{0\}, serà \beta un monomorfisme. En eixe cas, K(x) és isomorf a K(\alpha).

Se dirà que l'element \alpha és transcendent sobre K i que K(\alpha) és una extensió transcendent sobre K. A més, no existirà cap polinomi amb coeficients en K que tinga pe arrrel a \alpha (és a dir, si p \in K[x], llavors p(\alpha) \neq 0).

Grau d'una extensió[modifica | modifica el codi]

Article principal: Grau d'una extensió

Com que tot espai vectorial té base, podem calcular la dimensió de L com espai vectorial sobre K, denotat per \operatorname{dim}_K(L). Es denomina grau de l'extensió L:K a la dimensió de L com K-espai vectorial: [L:K] = \operatorname{dim}_K(L).

Prenguem diversos exemples:

K = Q el cos dels racionals i L = R el dels reals; Les arrels dels enters primers (√2, √3, √5, √7,...) són linealment independents sobre Q, el que implica que R vist com a espai vectorial sobre Q, és de dimensió infinita.
Altra manera d'obtenir este resultat és considerar els nombres e, e²,e³... on el nombre e és la base dels logaritmes neperians. Com que e és transcendent, no existeix cap polinomi no nul P tal que P(e) = 0, cosa que significa que 1, e, e², e³ ... són linealment independents. D'ací la dimensió infinita.

El resultat no sorprèn si es considera els cardinals d'ambdós conjunts: si la dimensió de R sobre Q fóra finita, R seria isomorf a Qn, el que no és possible perquè el cardinal de Qn és el mateix que el de Q (igual al de N, aleph0) que és estrictament inferior al de R.

K = Q, el cos del racionals i L = Q(√2), el menor cos que conté al mateix temps Q i √2. L és també el conjunt dels P(√2), on P és qualsevol polinomi amb coeficients en Q.
Reagrupant els monomis de potències pares per una part, i imparell per altra, de P(√2), se veu que els elements de Q(√2) són els nombres de la forma a+b√2, amb a i b racionals. Per tant (1, √2) és una base de L vist com a espai vectorial sobre K, el que significa que la seua dimensió és 2.
S'ha de relacionar esta dimensió al fet que √2 és arrel d'un polinomi de segon grau.

Se pot generalitzar:

Si α és una arrel d'un polinomi irreductible (sobre Q) de grau n, aleshores Q(α) és una extensió de dimensió n sobre Q.