Extensió de cossos

En àlgebra, les extensions de cos són el problema fonamental de la teoria de cossos. Un cos és un conjunt en el qual les operacions suma i producte estan definides i "funcionen bé". Un dels motius de construir una extensió d'un cos és el de cercar un conjunt més gran en el qual les operacions suma i producte seguisquen funcionant bé i a més es puguen resoldre equacions polinòmiques que no es poden resoldre en el cos original.

Definició.

Siga (K, +, ·) un cos. Un cos L és una extensió de K si K és un subcos de L, és a dir si (L,+,·) és un cos i (K,+,·) és un cos amb la restricció a K de les operacions + i · en L. Si L és extensió sobre K es denota L:K o L/K...

Extensió sobre un cos com espai vectorial sobre el cos.

• Si L és una extensió de K, llavors L és un espai vectorial sobre K.

En efecte, l'addició de K serveix també d'addició en l'espai vectorial, i la multiplicació d'un element de K per un de L defineix el producte escalar de l'espai vectorial:

Per definició de cos, $(L,+)$ és grup abelià, i podem considerar el producte per escalars $\cdot: K \times L \longrightarrow L$ com una restricció a $K \times L$ del producte en $\cdot: L \times L \longrightarrow$. D'esta manera és immediat que es compleix que:

• $a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta)$,

• $(a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha)$,

• $(a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha$,

• $1 \cdot \alpha = \alpha$,

qualssevol que siguen $a,b \in K$ i $\alpha,\beta \in L$. Les dues primeres propietats són degudes a la distributivitat del producte respecte de la suma en $L$ i a que $K \subset L$, la tercera es deu al fet que el producte és associatiu en $L$, i la quarta se deu a que $K$ és subcos de $L$, per el que l'element unitat de $L$ és l'element unitat de $K$.

Extensió simple.

El conjunt $K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\}$. Este conjunt és un cos, és extensió de $K$, és subcos de $L$, i de fet és la menor extensió de $K$ que conté a $\alpha$. Se li denomina extensió generada per α sobre $K$.

Extensions algebraiques i transcendents.

Teorema de Kronecker.

Siga $K$ un cos i $p \in K[x]$ un polinomi irreduible, llavors existeix alguna extensió $L:K$ de manera que $p$ té alguna arrel en $L$.

Homomorfisme avaluació.

L'aplicació $\beta: K[x] \longrightarrow K(\alpha)$ que a cada polinomi $p(x) \in K[x]$ li fa correspondre la seua avaluació en $\alpha$, i.e., $\beta(p)=p(\alpha)$. Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina homomorfisme avaluació.

Extensió algebraica.

Una extensió $L:K$ se diu que és algebraica si tot element $\alpha \in L$ és algebraic sobre $K$.

Elements algebraics.

Suposem que existeix algun polinomi $p \in K[x]$ que té a $\alpha$ per arrel.

En esta situació ($Ker(\beta) \neq \{0\}$, o equivalentement, existeix algun $p \in K[x]$ irreduible con $\frac{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)$) se diu que $\alpha$ és algebraic sobre $K$.

Un element és llavors algebraic sobre un cos si i només si és arrel d'algun polinomi a coeficients en aquest cos.

Polinomi mònic irreduible.

Si $\alpha$ és un element algebraic sobre el cos $K$ de manera que $\alpha \notin K$, el polinomi $p$ que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e., $Ker \beta = (p)$) és irreduible. Dividint $p$ per el seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la major potencia de la variable $x$) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal es la unitat), que se denota per $m_{\alpha}^K$ i se denomina polinomi mònic irreduible de $\alpha$ respecte de $K$.

Clarament, $K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}$.

Extensió transcendent.

Una extensió $L:K$ se diu que és trascendent si existeix algun element $\alpha \in L$ que siga trascendent sobre $K$.

Elements transcendents.

Si el Ker$(\beta) = \{0\}$, serà $\beta$ un monomorfisme. En eixe cas, $K(x)$ és isomorf a $K(\alpha)$.

Se dirà que l'element $\alpha$ és transcendent sobre $K$ i que $K(\alpha)$ és una extensió transcendent sobre $K$. A més, no existirà cap polinomi amb coeficients en $K$ que tinga pe arrrel a $\alpha$ (és a dir, si $p \in K[x]$, llavors $p(\alpha) \neq 0$).

Grau d'una extensió

Com que tot espai vectorial té base, podem calcular la dimensió de $L$ com espai vectorial sobre $K$, denotat per $dim_K(L)$. Es denomina grau de l'extensió $L:K$ a la dimensió de $L$ com $K$-espai vectorial: $[L:K] = dim_K(L)$.

Prenguem diversos exemples:

K = Q el cos dels racionals i L = R el dels reals; Les arrels dels enters primers (√2, √3, √5, √7,...) són linealment independents sobre Q, el que implica que R vist com espai vectorial sobre Q, és de dimensió infinita.
Altra manera d'obtenir este resultat és considerar els nombres e, e²,e³... on el nombre e és la base dels logaritmes neperians. Com que e és transcendent, no existeix cap polinomi no nul P tal que P(e) = 0, cosa que significa que 1, e, e², e³ ... són linealment independents. D'ací la dimensió infinita.

El resultat no sorprèn si es considera els cardinals d'ambdós conjunts: si la dimensió de R sobre Q fóra finita, R seria isomorf a Qⁿ, el que no és possible perquè el cardinal de Qⁿ és el mateix que el de Q (igual al de N, aleph₀) que és estrictament inferior al de R.

K = Q, el cos del racionals i L = Q(√2), el menor cos que conté al mateix temps Q i √2. L és també el conjunt dels P(√2), on P és qualsevol polinomi amb coeficients en Q.
Reagrupant els monomis de potències pares per una part, i imparell per altra, de P(√2), se veu que els elements de Q(√2) són els nombres de la forma a+b√2, amb a i b racionals. Per tant (1, √2) és una base de L vist com espai vectorial sobre K, el que significa que la seua dimensió és 2.
S'ha de relacionar esta dimensió al fet que √2 és arrel d'un polinomi de segon grau.

Se pot generalitzar:

Si α és una arrel d'un polinomi irreductible (sobre Q) de grau n, aleshores Q(α) és una extensió de dimensió n sobre Q.