Polinomi irreductible

En Teoria d'Anells, un polinomi no constant (i per tant no nul) $p$ amb coeficients en un domini íntegre $R$ (és a dir, $p \in R[x]$) és irreductible si no pot factoritzar-se com producte de polinomis de manera que tots ells tinguen graus menor que $deg(p)$. En altres paraules, si $p = r \cdot q$ llavors ha de ser $r \in R$ o $q \in R$ (és a dir, algun d'ells ha de ser un polinomi constant).

Això és un cas particular d'element irreductible en un domini íntegre.

El domini íntegre R pot, entre uns altres, ser el conjunto $\mathbb{R}$ dels nombres reals (que és domini íntegre per ésser cos), el conjunt $\mathbb{C}$ dels nombres complexos (també cos), el conjunt $\mathbb{Q}$ dels nombres racionals (cos també) o el conjunt $\mathbb{Z}$ dels nombres enters (que no és cos però si domini íntegre).

Exemples

Els cinc polinomis següents demostren algunes característiques elementals dels polinomis reduibles i irreduibles:

$p_1(x)=x^2+4x+4\,=(x+2)(x+2)$,

$p_2(x)=x^2-4\,=(x-2)(x+2)$,

$p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$,

$p_5(x)=x^2+1\,=(x-i)(x+i)$.

Sobre l'anell $mathbb{Z}$ de nombres enters, els primers dos polinomis són reductibles, però els tres últims són irreductibles (el tercer no té coeficients del nombre sencer).

Sobre el cos $mathbb{Q}$ de nombres racionals, els primers tres polinomis són reductibles, però els altres dos són irreductibles.

Sobre el cos $mathbb{R}$ de nombres reals, els primers quatre polinomis són reductibles, però el cinquè segueix sent irreductible.

Sobre el cos $\mathbb{C}$ de nombres complexos, els cinc polinomis són reductibles.

De fet en $\mathbb{C}$, cada polinomi no-constant se pot descompondre en factores lineals

$p(z)=a_n (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)$

on $a_n$ és el coeficient principal del polinomi i $z_1,\ldots,z_n$ són els zeros de $p(x)$. Per tant, tots els polinomis irreductibles són de grau 1. En el caso del cos $\mathbb{R}$, tampoc poden ser reductibles aquells polinomis de grau 2 amb discriminant negatiu, ja que a pesar de ser factoritzat per polinomis de menor grau que aquest, i major o igual a 0, no tenen els seus coeficients dins del cos dels reals. Aquest és el teorema fonamental de l'àlgebra.

Un polinomi irreductible és polinomi primitiu si i només si $x^{{p^{m-1}}\over {ri}} \not \equiv 1 \bmod f(x)$

p és primer

i x és un element d'ordre $p^m \in \mathbb{Z}_p[x]/f(x)$

Per a provar si un polinomi és irreductible es poden aplicar diversos criteris, entre els quals es troben el criteri d'Eisenstein o el criteri de reducció.

Vegeu també

• Factorització dels polinomis