Equacions de Navier-Stokes

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Les equacions de Navier-Stokes reben el seu nom de Claude-Louis Navier i George Gabriel Stokes. Es tracta d'un conjunt de equacions en derivades parcials no lineals que descriuen el moviment d'un fluid. Aquestes equacions governen l'atmosfera terrestre, els corrents oceàniques i el flux al voltant de vehicles o projectils i, en general, qualsevol fenomen en el que s'involucrin fluids newtonians.

Aquestes equacions s'obtenen aplicant els principis de conservació de la mecànica i la termodinàmica a un volum fluid. Fent això s'obté l'anomenada formulació integral de les equacions. Per arribar a la seva formulació diferencial es manipulen aplicant certes consideracions, principalment aquella en què els esforços tangencials guarden una relació lineal amb el gradient de velocitat (llei de viscositat de Newton), obtenint d'aquesta manera la formulació diferencial que generalment és més útil per la resolució dels problemes que es plantegen en la mecànica de fluids.

Com ja s'ha dit, les equacions de Navier-Stokes són un conjunt d'equacions en derivades parcials no lineals. No es disposa d'una solució general per a aquest conjunt d'equacions, i excepte certs tipus de flux i situacions molt concretes no és possible trobar una solució analítica; el qual en moltes ocasions hem de recórrer a l'anàlisi numèrica per determinar una solució aproximada. A la branca de la mecànica de fluids que s'ocupa de l'obtenció d'aquestes solucions mitjançant l'ordinador s'anomena dinàmica de fluids computacional (CFD, del seu acrònim anglosaxó Computational Fluid Dynamics ).

Conceptes previs[modifica | modifica el codi]

Derivada substancial o material[modifica | modifica el codi]

Article principal: Derivada substancial

Com que generalment seguim amb la descripció eulerià la derivada ordinària {\partial\phi}/{\partial t} ja no representa tota la variació per unitat de temps d'una determinada propietat del fluid {\phi} seguint la partícula fluida. Això és degut al moviment del fluid. Per reflectir aquesta variació usarem la derivada substancial (o derivada seguint a la partícula fluida). La derivada substancial o derivada material es defineix com l'operador:

\frac{D}{Dt}(\star)\ \stackrel{\mathrm{def} }{=}\ \frac{\partial (\star)}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla (\star)

On \mathbf{v} és la velocitat del fluid. El primer terme representa la variació de la propietat en un punt fix de l'espai i per això se l'anomena derivada local, mentre que el segon representa la variació de la propietat associat al canvi de posició de la partícula fluida, i se l'anomena derivada convectiva. Aquest és el procediment que segueix Josep de Echegarai per demostrar la derivada material. Vegeu una demostració de com arribar a una derivada material. Prenent les coordenades d'Euler com:

\mathbf{v}= v_x (x, y, z, t)\hat{\mathbf{i} }+v_y (x, y, z, t)\hat{\mathbf{j} }+v_z (x, y, z, t)\hat{\mathbf{k} }.

Calcularem l'acceleració per a aquestes coordenades:

\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v} }{dt}=\frac{dv_x}{dt}\hat{\mathbf{i} }+\frac{dv_y}{dt}\hat{\mathbf{j} }+\frac{dv_z}{dt}\hat{\mathbf{k} }

Desenvolupem cada derivada total de cada component, així podrem seguir un desenvolupament fàcil de recordar:

\frac{Dv_x}{Dl}i =\frac{\partial v_x}{\partial t}r+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}r+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}r+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}i
\frac{Dv_y}{Dl}j =\frac{\partial v_y}{\partial t}j+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}j+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}j+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}j
\frac{Dv_z}{Dl}k =\frac{\partial v_z}{\partial t}k+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}k+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}k+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}k

Si sumem terme a termes i traiem factor comú ens adonem que podem factoritza bastant:

\frac{dvelocidad}{dt}=\frac{\partial (ui+vj+wk)}{\partial t}+o\frac{\partial (ui+vj+wk)}{\partial x}+v\frac{\partial (ui+vj+wk)}{\partial y}+w\frac{\partial (ui+vj+wk)}{\partial z}
\frac{d velocitat}{dt}=\frac{\partial velocitat}{\partial t}+[o\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}] v =\frac{\partial velocitat}{\partial t}+(velocitat\cdot\nabla) velocitat

Veiem que la part de les derivades parcials espacials es poden escriure com: \mathbf{v}\cdot\nabla

Si ara substituïm velocitat per  (\star) obtenim formalment l'expressió de la derivada material:

\frac{d}{dt}(\star) =\frac{\partial (\star)}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla) (\star)

Teorema del transport de Reynolds[modifica | modifica el codi]

Si la derivada substancial permet calcular la variació d'una propietat del fluid seguint una partícula fluida, el teorema del transport de Reynolds permetrà calcular la variació d'una magnitud fluida extensiva lligada a un volum fluid. En la seva forma general, el teorema del transport de Reynolds s'expressa com:

\frac{d}{dt}\int_{V_f (t)}\phi\, d\omega =\frac{d}{dt}\int_{V_c (t)}\phi\, d\Omega+\int_{S_c (t)}\phi\left (\mathbf{v-v_c}\right)\cdot\mathbf{n}\, d\sigma

on \phi és una propietat extensiva definida per unitat de volum, V_f és un volum fluid,  V_c és un volum de control que coincideix amb  V_f en l'instant t,  S_c la superfície de control lligada a aquest volum, \mathbf{v} la velocitat del fluid i \mathbf{v_c} la velocitat de la superfície de control.

Expressat en termes col·loquials es pot dir que el teorema del transport de Reynolds ve a dir que la variació d'una propietat extensiva en un volum fluid, és igual a la variació d'aquesta propietat en l'interior d'aquest volum més la quantitat d'aquesta propietat que travessa la superfície del volum.

Teorema de la divergència[modifica | modifica el codi]

Article principal: teorema de la divergència

El teorema de la divergència (o teorema de Gauss), ens permet transformar integrals de superfície en integrals de volum (i viceversa). En el cas particular de tres dimensions podem expressar com:

\iiint\limits_V\left (\nabla\cdot\mathbf{F}\right) dV =\iint\limits_{\part V}\mathbf{F\cdot n}\; dS

Les equacions de Navier-Stokes[modifica | modifica el codi]

\rho\frac{Du_i}{Dl}=\rho f_i-\frac{\partial P}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left [
2\mu\left (e_{ij}-\Delta\delta_{ij}/3\right)\right] .

Aquesta expressió representa el principi de conservació del moment lineal aplicada a un fluid general. La llei de conservació de la massa s'escriu:

\frac{\partial\rho u_i}{\partial x_i}= 0

En aquestes equacions? representa la densitat, o i (i = 1,2,3) les components cartesianes de la velocitat, F i les forces aplicades sobre el cos, com la gravetat, P la pressió del fluid, i µ la viscositat dinàmica.

 e_{ij}=\left (\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)

on? = i ii és la divergència del fluid i dij la delta de Kronecker. D/Dt és la derivada total o derivada material temporal seguint el fluid:

\frac{D}{Dt}(\cdot)\equiv\frac{\partial (\cdot)}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla) (\cdot)

La no-linealitat de les equacions es deu precisament al terme relacionat amb la derivada total. Quan µ és uniforme sobretot el fluid les equacions de fluid se simplifiquen de la manera següent:

\rho\frac{Du_i}{Dl}=\rho f_i-\frac{\partial P}{\partial x_i}+\mu\left (\frac{\partial^2u_i}{\partial x_i\partial x_j}+\frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)

Fluids no viscosos[modifica | modifica el codi]

Per fluids de viscositat nul, és a dir quan µ = 0, les equacions resultants es denominen equacions d'Euler que s'utilitzen en l'estudi de fluids compressibles i en ones de xoc. Si a més? pot ser considerada constant (com en un líquid):

\rho\left ({\partial v_x\over\partial t}+v_x{\partial v_x\over\partial x}+v_y{\partial v_x\over\partial y}+v_z{\partial v_x\over\partial z}\right) =\mu\left [{\partial^2 v_x\over\partial x^2}+{\partial^2 v_x\over\partial y^2}+{\partial^2 v_x\over\partial z^2}\right] -{\partial P\over\partial x}+\rho g_x
\rho\left ({\partial v_y\over\partial t}+v_x{\partial v_y\over\partial x}+v_y{\partial v_y\over\partial y}+v_z{\partial v_y\over\partial z}\right) =\mu\left [{\partial^2 v_y\over\partial x^2}+{\partial^2 v_y\over\partial y^2}+{\partial^2 v_y\over\partial z^2}\right] -{\partial P\over\partial y}+\rho g_y
\rho\left ({\partial v_z\over\partial t}+v_x{\partial v_z\over\partial x}+v_y{\partial v_z\over\partial y}+v_z{\partial v_z\over\partial z}\right) =\mu\left [{\partial^2 v_z\over\partial x^2}+{\partial^2 v_z\over\partial y^2}+{\partial^2 v_z\over\partial z^2}\right] -{\partial P\over\partial z}+\rho g_z

i l'equació de continuïtat adquireix la forma següent:

{\partial v_x\over\partial x}+{\partial v_y\over\partial y}+{\partial v_z\over\partial z}= 0

Altres consideracions[modifica | modifica el codi]

Aquest catàleg és una qüestió oberta fa a aquestes equacions és la determinació de si, partint d'unes condicions inicials del moviment de fluid suau i laminar, la solució de les equacions per a tot instant de temps implica també un flux suau i laminar. Aquesta pregunta constitueix un dels Problemes del Mil·lenni que l'Institut de Matemàtiques Clay premia amb 1 milió de dòlars nord-americans a qui pugui resoldre'l.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]