Asímptota

Representació gràfica de l'equació $f(x)=\tfrac{1}{x}$ amb asímptotes als eixos x i y

Una asímptota és una recta a la qual s'aproxima un punt sobre una corba quan el punt s'allunya cap a l'infinit.

N'hi ha de tres tipus:

Asímptota vertical

Donada una funció $f(x)$ existeix una asímptota vertical d'equació $x = a$ si, i només si el límit de la funció quan $x$ tendeix a $a$ és infinit (positiu o negatiu):

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$

$\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$

Asímptota horitzontal

Si prenem la mateixa funció, existeix una asímptota horitzontal d'equació $y = b$ si, i només si el límit de la funció quan $x$ tendeix a l'infinit és un nombre finit $b$:

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x)= b$, essent $b$ un valor finit.

Asímptota obliqua

Les asímptotes obliqües són rectes d'equació $y = mx + b$ on:

$\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} = m$

i

$\lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = b$

Cal tenir en compte que no poden coexistir asímptotes obliqües amb horitzontals en el mateix sentit d'infinitud. És a dir, si existeix una asímptota horitzontal per a l'infinit positiu, aleshores no n'existirà cap d'obliqua en aquell sentit, però sí que pot existir-ne per a l'infinit negatiu.