Successió de Cauchy

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una successió de Cauchy és una successió tal que, parlant intuïtivament, la distància entre els seus elements es va fent més petita a mesura que s'avança en la successió, fins al punt que la distància entre dos dels seus elements pot ser tan petita com vulguem. Aquest tipus de successió rep el seu nom en honor al matemàtic francès Augustin Louis Cauchy.

Més formalment: una successió (x_n) és una successió de Cauchy quan podem assegurar que, fixat un nombre \epsilon > 0 qualsevol, existeix un índex n_o tal que, per a tot parell de termes amb índexs n,m \geq n_0 es compleix que la seva distància és inferior a \epsilon:

 \forall \epsilon > 0 \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} \quad \mathrm{tal \ que} \quad m,n \geq n_0 \Rightarrow |x_m-x_n| \leq \epsilon .

En l'expressió anterior se suposa que els x_n són nombres reals o complexos, però amb un petit canvi la mateixa definició es pot escriure per a successions de punts en un espai mètric qualsevol.

Un espai complet és aquell on tota successió de Cauchy té límit. Aquesta és una característica definitòria del conjunt dels nombres reals i una noció important en moltes branques de l'anàlisi funcional, perquè dóna lloc al concepte d'espai de Banach.