Equació de Laplace

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul vectorial, l'equació de Laplace és una equació en derivades parcials de segon ordre de tipus el·líptic, que rep aquest nom en honor al físic i matemàtic Pierre-Simon Laplace.

Introduïda per les necessitats de la mecànica newtoniana, l'equació de Laplace apareix en moltes altres branques de la física teòrica com l'astronomia, l'electrostàtica, la mecànica de fluids o la mecànica quàntica.

Definició[modifica | modifica el codi]

L'equació de Laplace es defineix com:

\Delta u = 0

on \Delta és el operador laplacià i u són funcions reals o complexes.

L'equació de Laplace es tracta d'un cas particular de l'equació de Poisson:

\Delta u = f quan la funció f és zero.

A les funcions solucions de l'equació de Laplace se'ls anomena funcions harmòniques.

Condicions inicials[modifica | modifica el codi]

El problema de Cauchy per l'equació de Laplace s'anomena un problema plantejat no correctament , ja que la solució no depèn contínuament de les dades del problema. Aquests problemes mal definits no són usualment satisfactoris per a les aplicacions físiques.

Condicions de frontera[modifica | modifica el codi]

Problema de Dirichlet[modifica | modifica el codi]

El problema de Dirichlet consisteix a trobar una funció harmònica donats els seus valors a la frontera d'un domini acotat. Això és:

trobar una funció o amb primera i segona derivades contínues en D i continua a la frontera de D

\Delta u = 0 en D
 U =\varphi a la frontera de D

per certa funció \varphi contínua a la frontera de D.

Com a conseqüència del principi fort del màxim de les funcions harmòniques s'ha de la solució del problema de Dirichlet si existeix és única.

Equació de Laplace tridimensional[modifica | modifica el codi]

A coordenades cartesianes, en un espai euclidià de tres dimensions, el problema consisteix a trobar totes les funcions de tres variables reals  u (x, y, z)\,\! que verifiquen l'equació en derivades parcials de segon ordre:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ +\ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ +\ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\ =\ 0

Per simplificar l'escriptura, s'introdueix el operador diferencial \Delta\,\! (operador laplacià) tal que l'equació ens queda:

\Delta u\ =\ 0

Equació de Laplace bidimensional[modifica | modifica el codi]

A coordenades cartesianes, en un espai euclidià de dues dimensions, el problema consisteix a trobar totes les funcions de dues variables reals  u (x, y) que verifiquen:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \ = \ 0
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + \ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ =\ 0

Problema de Dirichlet[modifica | modifica el codi]

Problema de Dirichlet en el cercle unitat[modifica | modifica el codi]

Per la fórmula integral de Poisson tenim que la solució al problema en un cercle (expressant la solució en coordenades polars) és:

 u (r,\theta) ={1\over 2\pi}\int _0^{2\pi}
 {1 - r^2\over 1+r^2 - 2 r\cos (\theta - t)}o
 (1, t)\, d t\;

Problema de Dirichlet en el semiplà superior[modifica | modifica el codi]

S'obté la coneguda com fórmula integral de Schwartz :

 u (x, y) ={i\over\pi}\int_{-\infty}^\infty
 {u (s, 0)\over (x-s)^2+y^2}
 \, D s\;

Vegeu també[modifica | modifica el codi]