Operador laplacià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul vectorial, l'operador laplacià és un operador diferencial el·líptic de segon ordre, denotat com Δ, relacionat amb certs problemes de minimització de certes magnituds sobre un cert domini. L'operador té aquest nom en reconeixement a Pierre-Simon Laplace que va estudiar solucions de equacions diferencials en derivades parcials en què apareixia aquest operador.

Expressat en coordenades cartesianes és igual a la suma de totes les segones derivades parcials no mixtes dependents d'una variable. Correspon a div (grad φ), d'on l'ús del símbol delta (Δ) o nabla quadrat (\nabla^2 ) per a representar-lo. Si \phi,\mathbf{A}, són un camp escalar i un camp vectorial respectivament, el·laplacià de tots dos es pot escriure en termes de l'operador nabla com:


\Delta\phi = (\nabla\cdot\nabla)\phi =\nabla^2\phi\qquad\qquad
\Delta\mathbf{A}=\nabla (\nabla\cdot\mathbf{A}) -\nabla\times (\nabla\times\mathbf{A}) = (\nabla\cdot\nabla)\vec{A}

Problemes relacionats amb l'operador laplacià[modifica | modifica el codi]

A física, el·laplacià apareix en múltiples contextos com la teoria del potencial, la propagació d'ones, la conducció de la calor, la distribució de tensions en un sòlid deformable, etc. Però de totes aquestes situacions ocupa un lloc destacat en l'electrostàtica i en la mecànica quàntica. En electrostàtica, l'operador laplacià apareix a l'equació de Laplace i en l'equació de Poisson. Mentre que a la mecànica quàntica el·laplacià de la funció d'ona d'una partícula dóna l'energia cinètica de la mateixa. A matemàtiques, les funcions tals que la seva laplacià s'anul·la en un determinat domini, es diuen funcions harmòniques sobre el domini. Aquestes funcions tenen una excepcional importància en la teoria de funcions de variable complexa. A més l'operador laplacià és l'ingredient bàsic de la teoria de Hodge i els resultats de la cohomologia de Rham.

Vegeu també: equació de Laplace i equació de Poisson

Motivació de la ubiqüitat de l'operador laplacià[modifica | modifica el codi]

Una de les motivacions per les quals el·laplaciana apareix en nombroses àrees de la física és que les solucions de l'equació \Delta f = 0 en una regió U són funcions que minimitzen el funcional d'energia:

 E (f) =\frac{1}{2}\int_U\Vert\nabla f\Vert^2\mathrm{d}x


Per veure això suposem que  f\colon U\to\mathbb{R} és una funció, i  o\colon U\to\mathbb{R} és una funció que s'anul sobre la frontera de U . Llavors,

\frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon = 0}E (f+\varepsilon u) =\int_U\nabla f\cdot\nabla u\mathrm{d}x = --\int_U o\Delta f\mathrm{d}x


on l'última igualtat es segueix utilitzant la primera identitat de Green. Aquest càlcul mostra que si \Delta f = 0 , llavors el funcional d'energia L és estacionari voltant de f. Recíprocament, si L és estacionari voltant de f, llavors \Delta f = 0 pel teorema fonamental del càlcul integral.

Una altra raó de la seva ubiqüitat és que quan un escriu l'equació de Laplace en forma diferències finites s'aprecia que el·laplaciana en un punt és la diferència entre el valor de la funció en el punt i el valor de la funció voltant. És a dir, qualsevol magnitud que pot expressar com una magnitud flux que es conserva satisfà l'equació de Laplace.

Propietats de l'operador laplacià[modifica | modifica el codi]

el·laplacià és lineal:

\nabla^2 (\lambda f+\mu g) =\lambda\nabla^2 f+\mu\nabla^2 g

La següent afirmació també és certa:

\nabla^2 (fg) = (\nabla^2f) g+2 (\nabla f)\cdot (\nabla g)+f (\nabla^2g)

Operador laplacià en diversos sistemes de coordenades[modifica | modifica el codi]

Coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

A coordenades cartesianes (plànol) bidimensionals, el·laplacià d'una funció f és:


\Delta f =\nabla^2 f ={\partial^2 f\over\partial x^2}+
{\partial^2 f\over\partial y^2}

En coordenades cartesianes tridimensionals:


\Delta f =\nabla^2 f =
{\partial^2 f\over\partial x^2}+
{\partial^2 f\over\partial y^2}+
{\partial^2 f\over\partial z^2}

En coordenades cartesianes a \mathbb{R}^n :


\Delta f (x_1 ,..., x_n) =\sum_{k = 1}^n
{\partial^2 f\over\partial x_k^2}(x_1 ,..., x_n)

Coordenades cilíndriques[modifica | modifica el codi]

A coordenades cilíndriques  (\rho,\varphi, z)\, :


\Delta f =\nabla^2 f
={1\over\rho}{\partial\over\partial\rho}
 \left (\rho{\partial f\over\partial\rho}\right)
+{1\over\rho^2}{\partial^2 f\over\partial\varphi^2}
+{\partial^2 f\over\partial z^2}

Coordenades esfèriques[modifica | modifica el codi]

A coordenades esfèriques  (r,\theta,\phi)\, :


\Delta f =\nabla^2 f
={1\over r^2}{\partial\over\partial r}
 \left (r^2{\partial f\over\partial r}\right)
+{1\over r^2\sin\theta}{\partial\over\partial\theta}
 \left (\sin\theta{\partial f\over\partial\theta}\right)
+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f\over\partial\phi^2}

Coordenades curvilínies ortogonals[modifica | modifica el codi]

A coordenades ortogonals generals  (u_1, u_2, u_3)\, :


\Delta f =\nabla^2 f =\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left [
\frac{\part}{\part u_1}\left (\frac{h_2 h_3}{h_1}\frac{\part f}{\part u_1}\right)+
\frac{\part}{\part u_2}\left (\frac{h_3 h_1}{h_2}\frac{\part f}{\part u_2}\right)+
\frac{\part}{\part u_3}\left (\frac{h_1 h_2}{h_3}\frac{\part f}{\part u_3}\right)\right]

On  (h_1, h_2, h_3)\, són els factors d'escala del sistema de coordenades, que en general seran tres funcions dependents de les tres coordenades curvilínies.

Funció harmònica[modifica | modifica el codi]

Una funció  f: E\rightarrow\mathbb{R} (amb  E\subset\mathbb{R}^n ) es diu que és harmònica en L si:

\forall x\in E,\,\,\Delta f (x) = 0

Exemples de funcions harmòniques:

Generalitzacions de laplaciana[modifica | modifica el codi]

La Laplaciana pot ser estesa a funcions definides sobre superfícies, o en forma més general, a varietats de Riemann i pseudoriemannianes.

Operador de Laplace-Beltrami[modifica | modifica el codi]

Una extensió de laplaciana a funcions reals defindas sobre una varietat és l'operador de Laplace-Beltrami (denotat \nabla^2 ). Es el defineix, en forma similar al Laplaciana, com la divergència del gradient, on el gradient una funció f definida en una varietat (pseudo) riemaniana i la divergència d'un camp vectorial X sobre la mateixa vénen donats en components per :

 (\mbox{grad}\ f)^i = g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\qquad\mbox{div}\ X =\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^j}\left (\sqrt{|g|}X^i\right)

On:  g^{ij}, és tensor 2-contravariante associat al tensor mètric. \sqrt{|g|}, és l'arrel quadrada del valor absolut del determinant del tensor mètric. L'operador de Laplace-Beltrami d'una funció escalar, s'obté com la divergència i el gradient definits com anteriorment és a dir:

\nabla^2 f =\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^k}\left (\sqrt{|g|}g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)

Operador de Laplace-deRham[modifica | modifica el codi]

En Varietats Riemannianes i seudoriemannianes hi ha una altra generalització del laplacià que s'estén a k-formes, que és la base de la cohomologia de Hodge-deRham. Aquesta extensió anomenada operador de Laplace-deRham, i denotat com \boldsymbol\Delta , es defineix en termes de la diferencial exterior ( d ) i la codiferencial exterior (δ) de k -formes o alternativament en termes de la diferencial exterior i l'operador dual de Hodge. Aquest operador de Laplace-deRham es defineix com:

\boldsymbol{\Delta}\alpha = (d\delta+\delta d)\alpha = (d+\delta)^2\alpha

On s'ha usat que la codiferencial pot reescriure en termes de la diferencial exterior i l'operador dual de Hodge:

\delta = (-1)^{n (k+1)+1}* d *\;

On n és la dimensió de la varietat (pseudo) riemanniana i k és l'ordre de la k -forma α.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]