Equació diferencial en derivades parcials

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una equació diferencial en derivades parcials és una equació que relaciona les derivades parcials d'una funció de diverses variables. S'anomena solució de l'equació a la funció que satisfà aquesta relació. La idea és tractar de deduir informació sobre una funció desconeguda provant de descobrir una relació entre ella mateixa i les seves derivades parcials en forma d'una EDP. Aleshores, aquesta EDP es pot fer servir per descobrir informació sobre la funció desconeguda, i algunes vegades es pot descobrir la forma explícita de la funció.

Les equacions diferencials en derivades parcials són omnipresents en la ciència i especialment a física, ja que les lleis físiques es poden escriure normalment en forma de EDP. Descriuen fenònems tals com el fluxe de fluids, el creixement dels cristalls, la difusió, la gravitació, i el comportament dels camps magnètics. Són importants en camps com la simulació aèria, els gràfics d'ordinador, i la predicció del temps. Les equacions centrals de la relativitat general i la mecànica quàntica també són equacions diferencials en derivades parcials.

Notació i exemples[modifica | modifica el codi]

En les EDP, se sol escriure la funció desconeguda com a u, i les seves derivades parcials respecte la variable x com a ux, això és:

u_x = {\part u \over \part x}
u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x}

Especialment en física (matemàtica), sempre es prefereix l'ús de l'operador nabla \nabla=(\part_x,\part_y,\part_z) per les derivades espacials i un punt (\dot u) per derivades temporals; per exemple, l'equació d'ones (veure sota) s'escriu com a \ddot u=c^2\nabla^2u.

Equació de Laplace[modifica | modifica el codi]

Una EDP bàsica i molt important és l'equació de Laplace:

u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0

per la funció desconeguda u(x,y,z). Les solucions d'aquesta equació, conegudes com a funcions harmòniques, serveixen com a potencials de camps vectorials a física, com ara el camp gravitacional o el camp electrostàtic.

Una generalització de l'equació de Laplace és l'equació de Poisson:

u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f

on f(x,y,z) és una funció donada. Les solucions d'aquesta equació descriuen potencials de camps gravitacionals i electroestàtics en presència de massa o càrregues elèctriques, respectivament.

Equació d'ones[modifica | modifica el codi]

L'equació d'ones és una equació per una funció desconeguda u(x,y,z,t) (on t és una variable temporal) que fa:

u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )

Les seves solucions descriuen ones com ara el so o la llum; c és el número que representa la velocitat de l'ona. En dimensions inferiors, aquesta equació descriu la vibració d'una corda o un tambor. Les solucions seran típicament combinacions d'ones oscil·latòries sinusoïdals.

Equació de la calor[modifica | modifica el codi]

L'equació de la calor descriu la temperatura d'una determinada regió al llarg del temps. Aquesta és:

u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )

Les solucions normalment s'anivellaran al llarg del temps. El número k descriu la difusivitat tèrmica del material.

Equació d'Euler-Tricomi[modifica | modifica el codi]

L'equació d'Euler-Tricomi es fa servir per la investigació del fluxe transònic. Aquesta és


u_{xx}=xu_{yy}

Equació de Ginzburg-Landau[modifica | modifica el codi]

L'equació de Ginzburg-Landau es fa servir per modelar la superconductivitat. Aquesta és


iu_t+pu_{xx} +q|u|^2u=i\gamma u

on p,q\in\mathbb{C} i \gamma\in\mathbb{R} són constants, i i és la unitat imaginària.

L'equació de Dym[modifica | modifica el codi]

L'equació de Dym es deu a Harry Dym, i es produeix a l'estudi de solucions. Aquesta és


u_t = u^3u_{xxx}.

Mètodes per resoldre EDP[modifica | modifica el codi]

Les EDP lineals es resolen generalment, quan és possible, descomponent l'equació d'acord amb un conjunt de funcions bàsiques, resolent aquestes funcions individualment i fent servir superposició per trobar la solució que correspon a les condicions inicials. El mètode de separació de variables té diferents aplicacions importants particulars.

No hi ha cap mètode general aplicable per resoldre EDP no lineals. Així i tot, els resultats d'existència i unicitat (com ara el teorema de Cauchy-Kovalevskaya són sovint proves de propietats importants, qualitatives i quantitatives, de solucions (arribar a aquests resultats és en gran part feina de l'anàlisi).

Tanmateix, es poden fer servir algunes tècniques per diferents tipus d'equacions. El principi h és el mètode més potent per solucionar equacions indeterminades. La teoria de Riquier-Janet és un mètode efectiu per obtenir informació sobre diferents sistemes analítics sobredeterminats.

El mètode de característics es pot fer servir en casos molt especials per resoldre equacions diferencials en derivades parcials.

En alguns casos, una EDP es pot solucionar mitjançant l'anàlisi de pertorbació, en el qual la solució es considera una correcció a una equació amb una solució coneguda. Molts problemes interessants en ciència i enginyeria se solucionen d'aquesta manera fent servir ordinadors, algunes vegades supercomputadors.

Classificació[modifica | modifica el codi]

Les equacions diferencials en derivades parcials de segon ordre, i els sistemes de EDP es poden classificar com a parabòliques, hiperbòliques o el·líptiques. Aquesta classificació dóna una aproximació intuïtiva en el comportament del sistema en ell mateix. Assumint u_{xy}=u_{yx}, la EDP de segon ordre general és de la forma

Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0,

que s'assembla força a l'equació d'una secció cònica:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.

De la mateixa manera que hom classifica les seccions còniques en parabòliques, hiperbòliques i el·lípitiques basant-se en el discriminant B^2 - 4AC, es fa el mateix amb les EDP de segon ordre.

  1. B^2 - 4AC < 0 : les equacions el·líptiques tendeixen a aplanar qualsevol molèstia. Un exemple típic és l'equació de Laplace. El moviment d'un fluid a velocitats sub-sòniques es pot aproximar amb EDP el·líptiques.
  2. B^2 - 4AC = 0 : les equacions parabòliques tendeixen a aplanar qualsevol molèstia que ja existís a les dades. Un exemple típic és l'equació de la calor.
  3. B^2 - 4AC > 0 : les equacions hiperbòliques tendeixen a amplificar qualsevol molèstia. Un exemple típic és l'equació d'ones. El moviment d'un fluid a velocitats del so es pot apriximar amb EDP hiperbòliques.

Aquest mètode de classificació es pot estendre fàcilment a les quacions amb més de dues variables independents, examinant els valors propis de la matriu de coeficients. En aquesta situació, l'esquema de classificació es converteix en:

  1. El·liptíca: Els valors propis són tots positius o tots negatius.
  2. Parabòlica: Els valors propis són tots positius o tots negatius excepte un, que és zero.
  3. Hiperbòlica: Hi ha com a mínim un valor propi negatiu i un valor propi positiu, i un o més valors propis són zero.

Això encaixa amb l'anàlisi de matrius definides positives i definides negatives, quan es vol decidir si hi ha màxims o mínims.

Equacions de tipus mixt[modifica | modifica el codi]

Si una EDP té coeficiens que no són constants, és possible que no pertanyi a cap d'aquestes categories, sinó que sigui d'un tipus mixt. L'equació d'Euler-Tricomi és un exemple simple però important


u_{xx}=xu_{yy}

que s'anomena el·liptico-hiperbòlic perquè és el·líptic a la regió x < 0, hiperbòlic a la regió x > 0, i parabòlic degenerat a la corba x = 0.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Bibliografia avançada[modifica | modifica el codi]

  • (anglès) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • (anglès) A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
  • (anglès) A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004. ISBN 1-58488-355-3
  • (anglès) A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
  • (anglès) D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Equació diferencial en derivades parcials