Funció harmònica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una funció harmònica és una funció dues vegades contínuament derivable f : DR (on D és un subconjunt obert de R n ) que compleix l'equació de Laplace, ie


\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}+
\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2}+
\cdots+
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2}= 0

en D . Això se sol escriure com

\nabla^2 f = 0 o també com a \ \Delta f = 0.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Exemples de funcions harmòniques de dues variables[modifica | modifica el codi]

  • La part real i imaginària de qualsevol funció holomorfa
  • f ( x 1 , x 2 ) = ln ( x 1 2 + x 2 2 )
Definida a R 2 \{0 "(per exemple el potencial elèctric a causa d'una càrrega en línia, i el potencial gravitatori a causa d'una massa cilíndrica)
  • Si o és una funció harmònica i li apliquem una transformació acord del pla, continua sent harmònica.

Exemples de funcions harmòniques de n variables[modifica | modifica el codi]

Connexions amb l'anàlisi de funcions complexes de variable complexa[modifica | modifica el codi]

La part real i imaginària de qualsevol funció holomorfa són funcions harmòniques. Això es deriva de que tota funció holomorfa verifica les equacions de Cauchy-Riemann. En aquest cas es diu que són harmòniques conjugades .

Propietats de les funcions harmòniques[modifica | modifica el codi]

Algunes propietats importants de les funcions harmòniques es poden deduir de l'equació de Laplace.

El teorema de regularitat per a les funcions harmòniques[modifica | modifica el codi]

Les funcions harmòniques són infinitament derivables. De fet, són funcions analítiques.

El principi del màxim[modifica | modifica el codi]

Les funcions harmòniques satisfan el següent principi del màxim (conegut com el principi feble del màxim ): si K és qualsevol subconjunt compacte de D , llavors f , a K , arriba a les seves màxim i mínim a la frontera de K .

Si a més D és connex, f no pot tenir màxims o mínims locals, excepte si f és constant (conegut com el principi fort del màxim ).

El teorema de la mitjana aritmètica[modifica | modifica el codi]

El teorema rep altres noms com propietat de la mitjana de les funcions harmòniques . Estableix que si tenim una funció harmònica definida en una bola, podem determinar el valor de la funció en el centre de la bola a partir de la mitjana dels valors de la funció a la superfície. És més:

Si  B (x, r) és una bola de centre x i radi r continguda completament en D , llavors el valor de f ( x ) al centre de la bola està donat pel valor mitjà de f en la superfície de la bola; aquest valor mitjà és també igual al valor mitjà de f a l'interior de la bola. En altres paraules


 u (x) =\frac{1}{\omega_n r^{n-1}}\oint_{\partial B (x, r)}o\, dS
 =\frac{n}{\omega_n r^n}\int_{B (x, r)}o\, dV

on \omega_n és l'àrea de la superfície de la bola unitat En n dimensions.

El teorema de Liouville[modifica | modifica el codi]

Si f és una funció harmònica definida a tot R n que està fitada superior o inferiorment, aleshores f és constant (compareu amb el Teorema de Liouville per a funcions d'una variable complexa).


Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]