Problema de càlcul de Steiner

El problema de Steiner, formulat i resolt per Steiner (1850), és el problema de trobar el màxim de la funció

$f(x)=x^{1/x}.\,$

Duu el nom del matemàtic suís Jakob Steiner.

El màxim es troba a $x=e$, on e denota la base del logaritme natural. Això es pot determinar resolent el problema equivalent de maximitzar

$g(x)=\ln f(x)={\frac {\ln x}{x}}.$

Aplicant el test de la primera derivada, la derivada de $g$ és

$g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}},$

així que $g'(x)$ és positiu per $0<x<e$ i negatiu per $x>e$, cosa que implica que $g(x)$ – i per tant $f(x)$ – és creixent per $0<x<e$ i decreixent per $x>e.$ Així doncs, $x=e$ és l'únic màxim global de $f(x).$

Referències

• Steiner, J. (1850), "Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl", Crelle 40: 208, <https://www.digizeitschriften.de/download/PPN243919689_0040/PPN243919689_0040___log28.pdf>