Connectiva lògica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En lògica, les connectives lògiques són les eines que permeten construir enunciats o fórmules a partir dels àtoms. Les més conegudes són no, i, o i la construcció condicional si ...llavors.

Aquestes connectives es representen:

 \lnot , no
 \land , i
 \lor , o (inclusiva)
 \rightarrow , si...llavors
input A input B output f(A,B) X and ¬X A and B ¬A and B B A A or B ¬A or B ¬A or ¬B X or ¬XLogical connectives table.svg
X or ¬X ¬A or ¬B ¬A or B A or B A xor B A B A and B X and ¬XLogical connectives Hasse diagram.svg
(fitxer) (fitxer) (ampliat)


Connectives[modifica | modifica el codi]

Les connectives són funcions de veritat. Vol dir que són funcions que prenen un o dos valors de veritat, i tornen un únic valor de veritat. En conseqüència, cada connectiva lògica pot ser definida mitjançant una taula de valors de veritat. A continuació hi ha una taula amb les connectives més usuals i la seva definició mitjançant taules de veritat:

Conectiva Notació Exemple
d'ús
Anàleg
natural
Exemple d'ús en
el llenguatge natural
Taula de veritat
Negació  \neg, \sim \,  \neg p \, No No està plovent.  \begin{array}{|c||c|}
 \phi & \neg \phi \\
 \hline
 1 & 0 \\
 0 & 1 \\
 \hline
 \end{array}
Conjunció  \And, \And \,  P \and q \, I Està plovent i és de nit.  \begin{array}{|c|c||c|}
 \phi & \psi & \phi \and \psi \\
 \hline
 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 \\
 \hline
 \end{array}
Disjunció  \or \,  P \or q \, O Està plovent o és de nit.  \begin{array}{|c|c||c|}
 \phi & \psi & \phi \or \psi \\
 \hline
 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & 1 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 0 \\
 \hline
 \end{array}
Condicional material  \to, \supset  P \to q \, Si ... llavors Si està plovent, llavors és de nit.  \begin{array}{|c|c||c|}
 \phi & \psi & \phi \to \psi \\
 \hline
 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 1 \\
 \hline
 \end{array}
Si i només si  \leftrightarrow, \equiv \,  P \leftrightarrow q \, Si i només si Està plovent si i només si és de nit.  \begin{array}{|c|c||c|}
 \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\
 \hline
 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
 \hline
 \end{array}
Negació
conjunta
 \Downarrow \,  P \downarrow q \, Ni ... ni Ni està plovent ni és de nit.  \begin{array}{|c|c||c|}
 \phi & \psi & \phi \downarrow \psi \\
 \hline
 1 & 1 & 0 \\
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
 \hline
 \end{array}
Disjunció
excloent
 \nleftrightarrow, \oplus, \not \equiv  P \nleftrightarrow q \, O bé ... o bé O bé està plovent, o bé és de nit.  \begin{array}{|c|c||c|}
 \phi & \psi & \phi \nleftrightarrow \psi \\
 \hline
 1 & 1 & 0 \\
 1 & 0 & 1 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 0 \\
 \hline
 \end{array}
Altres connectives

Atès que les connectives són funcions de veritat, hi haurà tantes connectives com a funcions de veritat. No obstant això, no totes les funcions de veritat tenen anàlegs en el llenguatge natural, i en conseqüència, no totes són estudiades amb el mateix interès. A continuació s'inclou una taula que llista totes les connectives binàries possibles.

\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
 \phi & \psi & \top & \or & \leftarrow & \phi & \to & \psi & \leftrightarrow & \and & \uparrow & \nleftrightarrow & \neg \psi & \nrightarrow & \neg \phi & \nleftarrow & \downarrow & \bot \\
 \hline
 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
 \hline
 \end{array}

On:

  •  \top \, és una tautologia.
  •  \or \, és la disjunció.
  •  \leftarrow \, és el condicional material invers.
  •  \to \, és el condicional material.
  •  \leftrightarrow \, és el Si i només si.
  •  \And \, és la conjunció.
  •  \Uparrow \, és la negació alternativa, incompatibilitat, o "NAND".
  •  \nleftrightarrow \, és la disjunció exclusiva, contravalència o "XOR".
  •  \nrightarrow \, és la negació del condicional material.
  •  \nleftarrow \, és la negació del condicional invers.
  •  \Downarrow \, és la negació conjunta, o "NOR".
  •  \bot \, és una contradicció.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]