Connectiva lògica

En lògica, les connectives lògiques són les eines que permeten construir enunciats o fórmules a partir dels àtoms. Les més conegudes són no, i, o i la construcció condicional si ...llavors.

Aquestes connectives es representen:

$\lnot$ , no

$\land$ , i

$\lor$ , o (inclusiva)

$\rightarrow$ , si...llavors

(fitxer)		(fitxer) (ampliat)

Connectives

Les connectives són funcions de veritat. Vol dir que són funcions que prenen un o dos valors de veritat, i tornen un únic valor de veritat. En conseqüència, cada connectiva lògica pot ser definida mitjançant una taula de valors de veritat. A continuació hi ha una taula amb les connectives més usuals i la seva definició mitjançant taules de veritat:

Conectiva	Notació	Exemple d'ús	Anàleg natural	Exemple d'ús en el llenguatge natural	Taula de veritat
Negació	$\neg, \sim \,$	$\neg p \,$	No	No està plovent.	$\begin{array}{|c||c|} \phi & \neg \phi \\ \hline 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \hline \end{array}$
Conjunció	$\And, \And \,$	$P \and q \,$	I	Està plovent i és de nit.	$\begin{array}{|c|c||c|} \phi & \psi & \phi \and \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$
Disjunció	$\or \,$	$P \or q \,$	O	Està plovent o és de nit.	$\begin{array}{|c|c||c|} \phi & \psi & \phi \or \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$
Condicional material	$\to, \supset$	$P \to q \,$	Si ... llavors	Si està plovent, llavors és de nit.	$\begin{array}{|c|c||c|} \phi & \psi & \phi \to \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$
Si i només si	$\leftrightarrow, \equiv \,$	$P \leftrightarrow q \,$	Si i només si	Està plovent si i només si és de nit.	$\begin{array}{|c|c||c|} \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$
Negació conjunta	$\Downarrow \,$	$P \downarrow q \,$	Ni ... ni	Ni està plovent ni és de nit.	$\begin{array}{|c|c||c|} \phi & \psi & \phi \downarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$
Disjunció excloent	$\nleftrightarrow, \oplus, \not \equiv$	$P \nleftrightarrow q \,$	O bé ... o bé	O bé està plovent, o bé és de nit.	$\begin{array}{|c|c||c|} \phi & \psi & \phi \nleftrightarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$

Altres connectives

Atès que les connectives són funcions de veritat, hi haurà tantes connectives com a funcions de veritat. No obstant això, no totes les funcions de veritat tenen anàlegs en el llenguatge natural, i en conseqüència, no totes són estudiades amb el mateix interès. A continuació s'inclou una taula que llista totes les connectives binàries possibles.

$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \phi & \psi & \top & \or & \leftarrow & \phi & \to & \psi & \leftrightarrow & \and & \uparrow & \nleftrightarrow & \neg \psi & \nrightarrow & \neg \phi & \nleftarrow & \downarrow & \bot \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

On:

• $\top \,$ és una tautologia.
• $\or \,$ és la disjunció.
• $\leftarrow \,$ és el condicional material invers.
• $\to \,$ és el condicional material.
• $\leftrightarrow \,$ és el Si i només si.
• $\And \,$ és la conjunció.
• $\Uparrow \,$ és la negació alternativa, incompatibilitat, o "NAND".
• $\nleftrightarrow \,$ és la disjunció exclusiva, contravalència o "XOR".
• $\nrightarrow \,$ és la negació del condicional material.
• $\nleftarrow \,$ és la negació del condicional invers.
• $\Downarrow \,$ és la negació conjunta, o "NOR".
• $\bot \,$ és una contradicció.

Vegeu també

• Lògica proposicional
• Porta lògica