Distribució gamma normal-inversa

Distribució gamma normal-inversa

Tipus	distribució de probabilitat i Distribució normal-inversa-Wishart

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució gamma normal inversa (o distribució gamma inversa gaussiana) és una família de quatre paràmetres de distribucions de probabilitat contínues multivariades. És l'a priori conjugat d'una distribució normal amb mitjana i variància desconegudes.

Definició

Suposem

$x\mid \sigma ^{2},\mu ,\lambda \sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2}/\lambda )\,\!$té una distribució normal amb mitjana $\mu$ i la variància $\sigma ^{2}/\lambda$, on

$\sigma ^{2}\mid \alpha ,\beta \sim \Gamma ^{-1}(\alpha ,\beta )\!$

té una distribució gamma inversa . Aleshores $(x,\sigma ^{2})$ té una distribució gamma normal-inversa, denotada com

$(x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )\!.$

( ${\text{NIG}}$ també s'utilitza en lloc de ${\text{N-}}\Gamma ^{-1}.$ )

La distribució normal-inversa-Wishart és una generalització de la distribució normal-inversa-gamma que es defineix sobre variables aleatòries multivariables.

Caracterització

Funció de densitat de probabilitat

$f(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {\sqrt {\lambda }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +\lambda (x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$

Funció de distribució acumulada

$F(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {e^{-{\frac {\beta }{\sigma ^{2}}}}\left({\frac {\beta }{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha }\left(\operatorname {erf} \left({\frac {{\sqrt {\lambda }}(x-\mu )}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+1\right)}{2\sigma ^{2}\Gamma (\alpha )}}$