Integral de Frullani

Les integrals de Frullani són un tipus específic d'integral impròpia que rep el nom del matemàtic italià Giuliano Frullani, qui les va esmentar per primera vegada en una carta el 1821 i publicada el 1828.

Les integrals són de la forma

$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x$

on ${f(x)}$ és una funció sobre ${x\geq 0}$, i el límit de ${f(x)}$ existeix a ${\infty }$.

La següent fórmula per a la seva solució general es compleix en determinades condicions:

${\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\frac {a}{b}}}$

Demostració

Una demostració simple de la fórmula es pot arribar expandint l'integrand en una integral, i després utilitzant el teorema de Fubini per intercanviar les dues integrals:

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {f(xt)}{x}}\right]_{t=b}^{t=a}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\,dx\\&=\int _{b}^{a}\int _{0}^{\infty }f'(xt)\,dx\,dt\\&=\int _{b}^{a}\left[{\frac {f(xt)}{t}}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,dt\\&=\int _{b}^{a}{\frac {f(\infty )-f(0)}{t}}\,dt\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}{\Big (}\ln(a)-\ln(b){\Big )}\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}\\\end{aligned}}$

Tingueu en compte que la integral de la segona línia anterior s'ha pres sobre l'interval $[b,a]$, i no sobre $[a,b]$.

Fórmules de Frullani

La primera fórmula de Frullani

Si $f(x)\in C[0,+\infty )\$ i $\ \forall A>0\ \exists \int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(x)}{x}}\,dx$, llavors la fórmula següent és vàlida:

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx=f(0)\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}\ \ (\alpha >0,\beta >0)\$

Demostració:

$\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}{\int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx}{\Biggr )}=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}{{\int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)}{x}}\,dx}-{\int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(\beta x)}{x}}\,dx}}{\Biggr )}=$

$=\left\{\forall A>0\ \exists \int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(x)}{x}}\,dx\ \Rightarrow {\int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(x)}{x}}\,dx=F(\infty )-F(A)}\Rightarrow {\int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)}{x}}\,dx=\int \limits _{\alpha A}^{\infty }{\frac {f(x)}{x}}\,dx}=F(\infty )-F(\alpha A)\right\}$ $=$

$=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}F(\infty )-F(\alpha A)-F(\infty )+F(\beta A){\Biggr )}=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}F(\beta A)-F(\alpha A){\Biggr )}=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {f(Ax)}{x}}\,dx{\Biggr )}=$

$=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}f(A\xi )\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{x}}\,dx{\Biggr )}$ $=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}f(A\xi ){\biggl (}\ln(\beta )-\ln(\alpha ){\biggr )}{\Biggr )}$ $=\lim \limits _{A\to +0}{\biggl (}f(A\xi ){\biggr )}\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}=$

$=\left\{\xi \in [\alpha ,\beta ]\Rightarrow \lim \limits _{A\to +0}{A\xi }=0,f(x)\in C[0,+\infty )\Rightarrow \lim \limits _{A\to +0}{f(A\xi )=f(0)}\right\}=f(0)\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}.$

Segona fórmula de Frullani

Si $f(x)\in C[0,+\infty )$ i $\exists \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)<+\infty \$ aleshores, la fórmula següent és vàlida:

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx=(f(0)-f(+\infty ))\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}\ \ (\alpha >0,\beta >0)$

Demostració:

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx=\lim \limits _{\epsilon \to 0,\Delta \to \infty }{\Biggl (}\int \limits _{\epsilon }^{A}{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx+\int \limits _{A}^{\Delta }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx{\Biggr )}$$=$

$=\left\{\rho {\bigl (}\epsilon ,A{\bigr )}<\infty ,{\frac {f(x)}{x}}\in C[\epsilon ,A]\Rightarrow \int \limits _{\epsilon }^{A}{\frac {f(x)}{x}}\,dx=F(A)-F(\epsilon )\Rightarrow \int \limits _{\epsilon }^{A}{\frac {f(\alpha x)}{x}}\,dx=F(\alpha A)-F(\alpha \epsilon )\right\}$$=$

$=\lim \limits _{\epsilon \to 0,\Delta \to +\infty }{\Biggl (}F(\alpha A)-F(\alpha \epsilon )-F(\beta A)+F(\beta \epsilon )+\int \limits _{A}^{\Delta }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx{\Biggr )}=$

$=\left\{\rho {\bigl (}A,\Delta {\bigr )}<\infty ,{\frac {f(x)}{x}}\in C[A,\Delta ]\Rightarrow \int \limits _{A}^{\Delta }{\frac {f(x)}{x}}\,dx=F(\Delta )-F(A)\Rightarrow \int \limits _{A}^{\Delta }{\frac {f(\alpha x)}{x}}\,dx=F(\alpha \Delta )-F(\alpha A)\right\}=$

$=\lim \limits _{\epsilon \to +0,\Delta \to +\infty }{\Biggl (}F(\alpha A)-F(\alpha \epsilon )-F(\beta A)+F(\beta \epsilon )+F(\alpha \Delta )-F(\alpha A)-F(\beta \Delta )+F(\beta A){\Biggr )}=$

$=\lim \limits _{\epsilon \to +0}{\biggl (}F(\beta \epsilon )-F(\alpha \epsilon ){\biggr )}-\lim \limits _{\Delta \to +\infty }{\biggl (}F(\beta \Delta )-F(\alpha \Delta ){\biggr )}=\lim \limits _{\epsilon \to +0}{\Biggl (}\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {f(\epsilon x)}{x}}\,dx{\Biggr )}-\lim \limits _{\Delta \to +\infty }{\Biggl (}\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {f(\Delta x)}{x}}\,dx{\Biggr )}=$

$=\lim \limits _{\epsilon \to +0}{\Biggl (}f(\epsilon \eta )\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{x}}\,dx{\Biggr )}-\lim \limits _{\Delta \to +\infty }{\Biggl (}f(\Delta \mu )\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{x}}\,dx{\Biggr )}$ $={\biggl (}\lim \limits _{\epsilon \to +0}f(\epsilon \eta )-\lim \limits _{\Delta \to +\infty }f(\Delta \mu ){\biggr )}{\biggl (}\ln(\beta )-\ln(\alpha ){\biggr )}$ $=$

$=\left\{\eta ,\mu \in [\alpha ,\beta ]\Rightarrow \lim \limits _{\epsilon \to +0}\epsilon \eta =0,\lim \limits _{\Delta \to +\infty }\Delta \mu =+\infty ,f(x)\in C[0,+\infty ]\Rightarrow \lim \limits _{\epsilon \to +0}f(\epsilon \eta )=f(0),\lim \limits _{\Delta \to +\infty }f(\Delta \mu )=f(+\infty )\right\}=$

$={\biggl (}f(0)-f(+\infty ){\biggr )}\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}.$

La tercera fórmula de Frullani

Si $f(x)\in C(0,+\infty )\$ i $\ \forall A>0\ \exists \int \limits _{0}^{A}{\frac {f(x)}{x}}\,dx$ и $\exists \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)<+\infty \$ aleshores, la fórmula següent és vàlida:

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx=f(+\infty )\ln {\biggl (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\biggr )}\ \ (\alpha >0,\beta >0)\$

Aplicacions

La fórmula es pot utilitzar per derivar una representació integral per al logaritme natural $\ln(x)$ amb $f(x)=e^{-x}$ i $a=1$:

${\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}-e^{-bx}}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{e^{n}}}-e^{0}{\Big )}\ln {\Big (}{\frac {1}{b}}}{\Big )}=\ln(b)$

o per derivar $f(x)=\arctan x\$ amb $a,b>0$:

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(ax)-\arctan(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}\ln {\frac {a}{b}}$

La fórmula també es pot generalitzar de diverses maneres diferents.

Exemples

Gràcies a la integral de Frullani i amb l'ajut de transformacions elementals, diferenciació i integració respecte a un paràmetre, es poden reduir moltes altres integrals impròpies.

• $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {{\frac {\sin(\alpha x)}{\alpha x}}-{\frac {\sin(\beta x)}{\beta x}}}{x}}\,dx\,=\,\ln \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)$

• $\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\sin \left(\alpha x+m\right)-\sin \left(\beta x+m\right)}{x}}{dx}=\sin(m)\cdot \ln \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)$

• $\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos \left(\alpha x+m\right)-\cos \left(\beta x+m\right)}{x}}{dx}=\cos(m)\cdot \ln \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)$

• $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {{\frac {m}{n+\alpha x}}-{\frac {m}{n+\beta x}}}{x}}\,dx\,=\,{{\frac {m}{n}}\,\ln \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)}$

• $\int \limits _{0}^{\infty }\!\,{\frac {{\frac {arctg\left(-\alpha \,x\right)}{\alpha \,x}}-{\frac {arctg\left(-\beta \,x\right)}{\beta \,x}}}{x}}{dx}\,={\,\ln \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)}$

Bibliografia

• Arias de Reyna, Juan «On the Theorem of Frullani» (PDF) (en anglès). Proc. A.M.S., 109, 1990, pàg. 165-175.
• Boros, G; Moll, V. Irresistible Integrals (en anglès), 2004, p. 98. 
• Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series (en anglès). Macmillan, 1908, p. 432-433. 
• Frullani, G. Sopra Gli Integrali Definiti (en italià). XX. Modena: Memorie della Società Italiana delle Scienze, 1828. 
• Ostrowski, A.M «On Some Generalizations of the Cauchy-Frullani Integral» (en anglès). Proceedings of the National Academy of Sciences, 35(10), octubre 1949, pàg. 612-616. PMC: 1063092. PMID: 16588938.
• Ostrowski, A. M «On Cauchy-Frullani Integrals» (en anglès). Commentarii Mathematici Helvetici, 51, 1976, pàg. 57–91. DOI: 10.1007/BF02568143.
• Tricomi, Francesco G «On the theorem of Frullani» (en anglès). American Mathematical Monthly, 58, 1951, pàg. 158–164.