Operador de projecció

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un operador de projecció P en un espai vectorial és una transformació lineal idempotent, és a dir, que satisfà la igualtat P 2 = P .

Introducció[modifica | modifica el codi]

Aquestes transformacions projecten qualsevol punt x de l'espai vectorial a un punt del subespai imatge de la transformació. En cas que x pertanyi al subespai imatge, la projecció no té efecte, deixant el punt x fix.[1]

Per exemple, l'operador P definit en R 3 de la manera següent


 P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}

és un operador que "projecta" l'espai R 3 sobre l'espai de dimensió 2 que consisteix dels vectors la coordenada y és zero.

Aquesta definició abstracta, de "projector" o "projecció" generalitza la idea gràfica intuïtiva de projecció estenent a qualsevol tipus d'espai vectorial, incloent el cas de dimensió infinita on no és possible una aproximació gràfica.

Projectors ortogonals o autoadjunts[modifica | modifica el codi]

En general, donat un subespai vectorial W d'un espai V , hi ha moltes projeccions sobre V . Si l'espai és un espai de Hilbert i s'exigeix a més que l'operador P sigui un autoadjunts, és a dir


 \langle P x, y \rangle = \langle x, P y \rangle, \quad x, y \in V

llavors la projecció sobre V és única. El terme operador de projecció ortogonal significa operador de projecció autoadjunts .

Dins l'entorn de la física, el terme operador de projecció és sinònim de projecció ortogonal

Referència[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Meyer, pp 386+387

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Enllaços exteriors[modifica | modifica el codi]